可逆矩陣的行列式

可逆矩陣與其逆矩陣是大學數學（高數）中的重點知識也是期末考試和研究生入學考試中的高頻考點。本文重點來談談「逆矩陣的行列式值與原矩陣行列式的關係」：逆矩陣的行列式與原矩陣的行列式的乘積為1，即二者互為倒數。

可逆矩陣的行列式是什麼

矩陣逆矩陣的行列式等於原矩陣行列式的倒數。
證明如下：
因為 AB=BA=E(單位陣),B是A的逆矩陣.
所以 |AB|=|BA|=1。
當A是方陣時，|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,
有 |B|=1/|A|。

逆矩陣的性質定理以及證明

性質定理：
1、可逆矩陣一定是方陣。
2、如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。
3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。
4、可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆，並且（AT）-1=（A-1）T (轉置的逆等於逆的轉置）。
5、若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。
6、兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。
7、矩陣可逆若且唯若它是滿秩矩陣。
證明：
1、逆矩陣是對方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。
2、設B與C都為A的逆矩陣，則有B=C。
3、假設B和C均是A的逆矩陣，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。
4、由逆矩陣的唯一性，A-1的逆矩陣可寫作（A-1）-1和A，因此相等。
矩陣A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I。
由可逆矩陣的定義可知，AT可逆，其逆矩陣為（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。
5、1）在AB=O兩端同時左乘A-1（BA=O同理可證），得A-1（AB）=A-1O=O
而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O。
2）由AB=AC（BA=CA同理可證），AB-AC=A(B-C)=O，等式兩邊同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。
得B-C=O，即B=C。