李 磊
（安徽理工大學化學工程學院，安徽 淮南 232001）
【摘 要】由的積分得到啟發，依據倒代換、積分函數理論得到一類與奇偶函數性質極為相似形如F（x）=F（1/x）或F（-x）=-F（1/x）的一類函數。該函數不同於奇偶函數之處是，不像奇偶函數那樣具有嚴格的對稱性，但經過倒代換函數數值上卻有對稱性，有方便解決互為倒數區間的定積分的用途。
關鍵詞 奇偶；倒代換；積分函數；互為倒數區間
1 定義
形如F（x）=F（1/x）或F（x）=-F（1/x）的函數叫做倒偶函數和倒奇函數。若F（x）=F（1/x）則F（x）為倒偶函數；若F（x）=-F（1/x）則稱F（x）為倒奇函數。
2 在初等函數中倒置函數的常見例子
F（x）=C，F（x）=logɑ x分別為倒偶函數和倒奇函數。
證明：F（x）=C,F（1/x）＝Ｃ ∴F（x）=C為倒偶函數
F（x）=logɑ x=logɑ xF（1/x）=-logɑ x=-F(x) ∴F（x）=logɑ x為倒奇函數。
而F（x）=ɑx，xn，sin x，cos x，tan x，arcsin x，arctan x都不是倒置函數。
3 倒置函數的一般表示及其證明
4 函數與奇偶函數的對比
4.1 奇偶函數與倒置函數的寫法
偶函數必滿足F（-x）=F（x），倒偶函數必滿足F（x）=F（1/x）
奇函數必滿足F（-x）=-F（x），倒奇函數必滿足F（x）=-F(1/x)
4.2 倒偶函數的特殊極值點與偶函數的特殊極值點的比較
倒偶函數的寫法由上述推導可得出F（x）=ｆ（x)+ｆ（1/x）對F（x）求導求導可得F＇(x)=ｆ＇(x)-1/x2ｆ＇（1/x） ∴F＇（1）=ｆ＇（1）-ｆ＇（1)=0 ∴x=1必為駐點。那麼x=1是否為極值點呢？x=1必為極值點。
證明：F＇(1)=ｆ＇(１＋)-ｆ＇（１-)而F＇（1-）=ｆ＇(1-)-ｆ＇（1+)=-ｆ＇(1+)-ｆ＇（1-）=-F＇（1）由此可見F＇（x）和F＇（1/x）必異號。∴0在（1-，1）和（1,1-）上F＇(x)的正負號發生了變化，故而得F（1）必為極大值或極小值，進而得x=1必為極值點。
而F（x)為偶函數則可寫成F(x)=f(x)+f(-x)進而有F＇(x）=f＇(x)-f＇(-x),∴F＇(0）=f＇(0)-f＇(0)=0故而x=0必為駐點。F＇(0+)=f＇(0+)-f＇(0-),而F＇(0-)=f＇(0-)-f＇(0+)=-（f＇(0+)-f＇(0-)），由此可見由此可見F＇（0+）和F＇（0-）必異號。∴0在（-，0）和（0,）上F＇(x)的正負號發生了變化，故而得F（0）必為極大值或極小值，進而得x=1必為極值點。
4.3 積分證明奇偶性與積分證明正負倒置性的比較
5 應用
6 應用拓展
由上述探討知，倒奇函數和倒偶函數有著與奇偶函數性質上極為相似的地方。在教材上以及在其他書上很少見到，但這類函數卻十分普遍。用途上十分少見但確實對一些互為倒數區間上的定積分起到作用。
參考文獻
［１］朱白.對稱區間上奇偶函數的定積分性質的推廣[J].和田師範專科學校學報:漢文綜合版,2008,51(2):188-188.
［２］同濟大學應用數學系.高等數學[M].5版.北京:高等教育出版社,2002.
［３］費為銀,王傳玉,項立群,萬上海.高等數學[M].合肥:中國科技技術大學出版社,2009.
［責任編輯：鄧麗麗］
（安徽理工大學化學工程學院，安徽 淮南 232001）
【摘 要】由的積分得到啟發，依據倒代換、積分函數理論得到一類與奇偶函數性質極為相似形如F（x）=F（1/x）或F（-x）=-F（1/x）的一類函數。該函數不同於奇偶函數之處是，不像奇偶函數那樣具有嚴格的對稱性，但經過倒代換函數數值上卻有對稱性，有方便解決互為倒數區間的定積分的用途。
關鍵詞 奇偶；倒代換；積分函數；互為倒數區間
1 定義
形如F（x）=F（1/x）或F（x）=-F（1/x）的函數叫做倒偶函數和倒奇函數。若F（x）=F（1/x）則F（x）為倒偶函數；若F（x）=-F（1/x）則稱F（x）為倒奇函數。
2 在初等函數中倒置函數的常見例子
F（x）=C，F（x）=logɑ x分別為倒偶函數和倒奇函數。
證明：F（x）=C,F（1/x）＝Ｃ ∴F（x）=C為倒偶函數
F（x）=logɑ x=logɑ xF（1/x）=-logɑ x=-F(x) ∴F（x）=logɑ x為倒奇函數。
而F（x）=ɑx，xn，sin x，cos x，tan x，arcsin x，arctan x都不是倒置函數。
3 倒置函數的一般表示及其證明
4 函數與奇偶函數的對比
4.1 奇偶函數與倒置函數的寫法
偶函數必滿足F（-x）=F（x），倒偶函數必滿足F（x）=F（1/x）
奇函數必滿足F（-x）=-F（x），倒奇函數必滿足F（x）=-F(1/x)
4.2 倒偶函數的特殊極值點與偶函數的特殊極值點的比較
倒偶函數的寫法由上述推導可得出F（x）=ｆ（x)+ｆ（1/x）對F（x）求導求導可得F＇(x)=ｆ＇(x)-1/x2ｆ＇（1/x） ∴F＇（1）=ｆ＇（1）-ｆ＇（1)=0 ∴x=1必為駐點。那麼x=1是否為極值點呢？x=1必為極值點。
證明：F＇(1)=ｆ＇(１＋)-ｆ＇（１-)而F＇（1-）=ｆ＇(1-)-ｆ＇（1+)=-ｆ＇(1+)-ｆ＇（1-）=-F＇（1）由此可見F＇（x）和F＇（1/x）必異號。∴0在（1-，1）和（1,1-）上F＇(x)的正負號發生了變化，故而得F（1）必為極大值或極小值，進而得x=1必為極值點。
而F（x)為偶函數則可寫成F(x)=f(x)+f(-x)進而有F＇(x）=f＇(x)-f＇(-x),∴F＇(0）=f＇(0)-f＇(0)=0故而x=0必為駐點。F＇(0+)=f＇(0+)-f＇(0-),而F＇(0-)=f＇(0-)-f＇(0+)=-（f＇(0+)-f＇(0-)），由此可見由此可見F＇（0+）和F＇（0-）必異號。∴0在（-，0）和（0,）上F＇(x)的正負號發生了變化，故而得F（0）必為極大值或極小值，進而得x=1必為極值點。
4.3 積分證明奇偶性與積分證明正負倒置性的比較
5 應用
6 應用拓展
由上述探討知，倒奇函數和倒偶函數有著與奇偶函數性質上極為相似的地方。在教材上以及在其他書上很少見到，但這類函數卻十分普遍。用途上十分少見但確實對一些互為倒數區間上的定積分起到作用。
參考文獻
［１］朱白.對稱區間上奇偶函數的定積分性質的推廣[J].和田師範專科學校學報:漢文綜合版,2008,51(2):188-188.
［２］同濟大學應用數學系.高等數學[M].5版.北京:高等教育出版社,2002.
［３］費為銀,王傳玉,項立群,萬上海.高等數學[M].合肥:中國科技技術大學出版社,2009.
［責任編輯：鄧麗麗］
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