摘 要考慮既有模糊屬性，又有不確定屬性值的不完備模糊信息系統，採用兩種不同的數據補齊方式來討論對象之間的相似程度，建立了一種新的模糊容差關係以對不完備模糊信息系統中的對象進行模糊分類。在此基礎上，新定義了不完備模糊信息系統中模糊知識的粗糙熵，並進行了相關性質的探討。
關鍵字不完備模糊信息系統；模糊容差關係；熵
粗糙集 理論[1，2](Rough Set The ory，RST)是由波蘭學者Pawlak於上世紀八十年代初提出的一種處理含糊和不精確性 問題 的新型數學工具。傳統粗集模型的處理對象是具有離散屬性值的完備信息系統(Complete Information System，CIS)，並且Pawlak所做的工作都是基於這樣一個假設，即CIS中的知識是確定的。然而，模糊集的創始人Zadeh告訴我們現實世界中的大部分知識不是精確而是模糊的，因此對於客觀存在的模糊信息系統[3，4](Fuzzy Information System，FIS)的 研究 不僅是必要的，而且相對於CIS的研究來說，具有更為廣泛的意義。
不完備模糊信息系統[3](Incomplete Fuzzy Information System，IFIS)是一種更為複雜的信息系統形式，其中既有模糊知識，又可能存在未知的模糊屬性值。由於RST建立在分類機制的基礎上，所以對於IFIS， 文獻 [3]首先採用數據補齊方式來處理未知的模糊屬性值，然後建立了IFIS中的模糊容差關係（滿足自反、對稱性[5]）以進行對象的模糊分類，並進行了模糊知識的約簡研究。文獻[3]在IFIS中進行數據補齊時簡單地將未知模糊屬性值用模糊屬性的全體值域來填充，然而經過筆者的研究，發現這種簡單的數據補齊方式並不能很完整地刻畫對象之間的模糊相似程度。因此，本文中採用了兩種不同的數據補齊方式來處理不確定模糊屬性值，分別得到對象間相似程度的樂觀和悲觀估計，從而構成相似度的估計區間，由此建立的新的模糊容差關係實際上是文獻[3]中的模糊容差關係的一種推廣形式。
本文的主要 內容 安排如下：第一節簡要介紹模糊信息系統中的相關知識；第二節採用兩種不同的數據補齊方式處理未知模糊屬性值，建立了一種新的模糊容差關係；第三節重新定義了不完備模糊信息系統中模糊知識的粗糙熵，並進行了相關性質的討論；第四節 總結 全文。
定義1一個模糊信息系統(FIS)為二元組S=〈U，AT〉，其中U是一個非空有限對象集合，稱為論域，U上的模糊子集族記為F(U)，AT為模糊屬性集合。
令S為一FIS，對於，有a：U→Va，Va表示模糊屬性a的值域；對於，a(x)表示x在模糊屬性a上的取值，即為Va的一模糊子集；對於表示x在模糊屬性a上取值為v的可能性程度且。
FIS是集值信息系統[6]、完備信息系統[1，2]的拓展形式，若對於，有，則FIS就退化為集值信息系統；更進一步地，若有，則FIS就退化成為完備信息系統，由此可見，FIS是CIS的一種廣義化的表現形式。但是，由於FIS中存在的是模糊知識，因此經典粗集理論中的不可分辨關係（等價關係）已不再適用，取而代之的是模糊等價關係或其他更弱的模糊二元關係。
定義2設S為一FIS，對於，定義二元模糊關係如下所示：
，
其中x，y∈U.
關係Ra(x，y)表示對象x與y在模糊屬性a上取值的相似程度，對於，有Ra(x，y)∈[0，1]，容易驗證Ra滿足自反性和對稱性，但並不一定滿足傳遞性，因此稱Ra為一個模糊容差關係。
命題1設S為一FIS，對於，則由模糊屬性集合A決定的模糊容差關係記為RA且
，
其中x，y∈U.
定義3設S為一FIS，其中，對於，則x基於RA的模糊容差類記為F(a)(x)且
在Pawlak所討論的CIS的基礎上，已有很多學者將信息系統的概念進一步拓展，討論了其中存在未知屬性值的情況，這種未知屬性值類似於關係資料庫系統中的「Null」值，稱這種信息系統為不完備信息系統[7~9](Incomplete Information System，簡稱IIS). 對於IIS，一般來說有2種處理方式[9]：①間接處理，即數據補齊或數據刪除，將IIS轉化為CIS來處理；②直接處理，對不可分辨關係（等價關係）進行擴展，建立了容差關係、相似關係、限制容差關係等較弱的二元關係。
對於模糊信息系統來說，由於數據測量的誤差、對數據理解或獲取的限制等原因，也可能存在數據遺漏等不完備、不確定的情況。設S為一FIS，若且唯若至少存在一個不確定值（文中用「*」表示）使得a(x) = *，則稱其為不完備模糊信息系統(Incomplete Fuzzy Information System，IFIS).
在FIS中，我們不能說一個對象是否完全屬於一個模糊容差類，而只能稱這個對象以何種程度屬於某個模糊容差類，因此對於IFIS中的未知模糊屬性值，只能採用間接方式進行處理。
定義4設S為一IFIS，其中a∈AT，對於，則x與y的樂觀相似度表示為RaOPT：
RaOPT(x，y) =Ra(x，y)，
其中a(x)= *=>a(x)=Va.
定義4是文[3]中的模糊分類 方法 ，a(x)= *=>a(x)=Va表示x在模糊屬性a上確實有可能取值，只是由於某些原因 目前 無法取何值，因此假定所取的值為a的值域。關係RaOPT(x，y)表示對象x與y在模糊屬性a上的相似程度的最大值。
命題2設S為一IFIS，其中a∈AT，x，y∈U，若a(x)= *且a(y) ¹*，則
。
證明：根據定義4，因為a(x)= *，所以假設a(x) =Va，那麼對於，就有a(x) (v)∧a(y) (v) =a(y) (v)，再由定義2就可以得到。
特別地，若a(x)=*且a(y)=*，則RaOPT(x，y)=1。
表1是文用來 分析 的一個不完備模糊信息系統，其中
a(O7)=b(O3)=c(O3)=*，由定義4，可以得到RaOPT(O2，O7)=1，RaOPT(O2，O3)=1，RaOPT(O2，O3)=1. 然而，若假設a(O7)= 0.1/H+1/N，可以求得O2與O7之間的相似程度為0.3，這個結果與RaOPT差距很大，所以說僅僅用RaOPT並不能客觀地表示具有不完備模糊屬性值的對象之間的相似程度，於是引入對象間的悲觀相似度如定義5所示。
表1 不完備模糊信息系統
定義5設S為一IFIS，其中a∈AT，對於"x，y ∈U，則x與y的悲觀相似度表示為RaPES：
RaPES(x，y) =Ra(x，y)，其中a(x)= *=>a(x)= φ.
在定義5中，我們使用空集來替代「*」，這樣做的目的是由於目前的模糊屬性值未知，所以就假定這樣的模糊屬性值是不存在的。
命題3設S為一IFIS，其中a ∈AT，x，y∈U，若a(x)= *，則對於，有RaPES(x，y) = 0。
證明：因為a(x)= *，所以根據定義5，就可以假設a(x)= φ，即。那麼根據定義2就可以得到，其中v∈Va，所以RaPES(x，y) = 0。
命題3說明了由於未知模糊屬性值被認為是不存在的，所以具有未知模糊屬性值的對象與其他對象的相似度就為0，即兩者之間被認為是不可比的。
關鍵字不完備模糊信息系統；模糊容差關係；熵
1 引言
粗糙集 理論[1，2](Rough Set The ory，RST)是由波蘭學者Pawlak於上世紀八十年代初提出的一種處理含糊和不精確性 問題 的新型數學工具。傳統粗集模型的處理對象是具有離散屬性值的完備信息系統(Complete Information System，CIS)，並且Pawlak所做的工作都是基於這樣一個假設，即CIS中的知識是確定的。然而，模糊集的創始人Zadeh告訴我們現實世界中的大部分知識不是精確而是模糊的，因此對於客觀存在的模糊信息系統[3，4](Fuzzy Information System，FIS)的 研究 不僅是必要的，而且相對於CIS的研究來說，具有更為廣泛的意義。
不完備模糊信息系統[3](Incomplete Fuzzy Information System，IFIS)是一種更為複雜的信息系統形式，其中既有模糊知識，又可能存在未知的模糊屬性值。由於RST建立在分類機制的基礎上，所以對於IFIS， 文獻 [3]首先採用數據補齊方式來處理未知的模糊屬性值，然後建立了IFIS中的模糊容差關係（滿足自反、對稱性[5]）以進行對象的模糊分類，並進行了模糊知識的約簡研究。文獻[3]在IFIS中進行數據補齊時簡單地將未知模糊屬性值用模糊屬性的全體值域來填充，然而經過筆者的研究，發現這種簡單的數據補齊方式並不能很完整地刻畫對象之間的模糊相似程度。因此，本文中採用了兩種不同的數據補齊方式來處理不確定模糊屬性值，分別得到對象間相似程度的樂觀和悲觀估計，從而構成相似度的估計區間，由此建立的新的模糊容差關係實際上是文獻[3]中的模糊容差關係的一種推廣形式。
本文的主要 內容 安排如下：第一節簡要介紹模糊信息系統中的相關知識；第二節採用兩種不同的數據補齊方式處理未知模糊屬性值，建立了一種新的模糊容差關係；第三節重新定義了不完備模糊信息系統中模糊知識的粗糙熵，並進行了相關性質的討論；第四節 總結 全文。
2 不完備模糊信息系統
定義1一個模糊信息系統(FIS)為二元組S=〈U，AT〉，其中U是一個非空有限對象集合，稱為論域，U上的模糊子集族記為F(U)，AT為模糊屬性集合。
令S為一FIS，對於，有a：U→Va，Va表示模糊屬性a的值域；對於，a(x)表示x在模糊屬性a上的取值，即為Va的一模糊子集；對於表示x在模糊屬性a上取值為v的可能性程度且。
FIS是集值信息系統[6]、完備信息系統[1，2]的拓展形式，若對於，有，則FIS就退化為集值信息系統；更進一步地，若有，則FIS就退化成為完備信息系統，由此可見，FIS是CIS的一種廣義化的表現形式。但是，由於FIS中存在的是模糊知識，因此經典粗集理論中的不可分辨關係（等價關係）已不再適用，取而代之的是模糊等價關係或其他更弱的模糊二元關係。
定義2設S為一FIS，對於，定義二元模糊關係如下所示：
，
其中x，y∈U.
關係Ra(x，y)表示對象x與y在模糊屬性a上取值的相似程度，對於，有Ra(x，y)∈[0，1]，容易驗證Ra滿足自反性和對稱性，但並不一定滿足傳遞性，因此稱Ra為一個模糊容差關係。
命題1設S為一FIS，對於，則由模糊屬性集合A決定的模糊容差關係記為RA且
，
其中x，y∈U.
定義3設S為一FIS，其中，對於，則x基於RA的模糊容差類記為F(a)(x)且
在Pawlak所討論的CIS的基礎上，已有很多學者將信息系統的概念進一步拓展，討論了其中存在未知屬性值的情況，這種未知屬性值類似於關係資料庫系統中的「Null」值，稱這種信息系統為不完備信息系統[7~9](Incomplete Information System，簡稱IIS). 對於IIS，一般來說有2種處理方式[9]：①間接處理，即數據補齊或數據刪除，將IIS轉化為CIS來處理；②直接處理，對不可分辨關係（等價關係）進行擴展，建立了容差關係、相似關係、限制容差關係等較弱的二元關係。
對於模糊信息系統來說，由於數據測量的誤差、對數據理解或獲取的限制等原因，也可能存在數據遺漏等不完備、不確定的情況。設S為一FIS，若且唯若至少存在一個不確定值（文中用「*」表示）使得a(x) = *，則稱其為不完備模糊信息系統(Incomplete Fuzzy Information System，IFIS).
3 數據補齊方式
在FIS中，我們不能說一個對象是否完全屬於一個模糊容差類，而只能稱這個對象以何種程度屬於某個模糊容差類，因此對於IFIS中的未知模糊屬性值，只能採用間接方式進行處理。
定義4設S為一IFIS，其中a∈AT，對於，則x與y的樂觀相似度表示為RaOPT：
RaOPT(x，y) =Ra(x，y)，
其中a(x)= *=>a(x)=Va.
定義4是文[3]中的模糊分類 方法 ，a(x)= *=>a(x)=Va表示x在模糊屬性a上確實有可能取值，只是由於某些原因 目前 無法取何值，因此假定所取的值為a的值域。關係RaOPT(x，y)表示對象x與y在模糊屬性a上的相似程度的最大值。
命題2設S為一IFIS，其中a∈AT，x，y∈U，若a(x)= *且a(y) ¹*，則
。
證明：根據定義4，因為a(x)= *，所以假設a(x) =Va，那麼對於，就有a(x) (v)∧a(y) (v) =a(y) (v)，再由定義2就可以得到。
特別地，若a(x)=*且a(y)=*，則RaOPT(x，y)=1。
表1是文用來 分析 的一個不完備模糊信息系統，其中
a(O7)=b(O3)=c(O3)=*，由定義4，可以得到RaOPT(O2，O7)=1，RaOPT(O2，O3)=1，RaOPT(O2，O3)=1. 然而，若假設a(O7)= 0.1/H+1/N，可以求得O2與O7之間的相似程度為0.3，這個結果與RaOPT差距很大，所以說僅僅用RaOPT並不能客觀地表示具有不完備模糊屬性值的對象之間的相似程度，於是引入對象間的悲觀相似度如定義5所示。
表1 不完備模糊信息系統
U | a | b | c | ||||||
H | N | L | R | S | T | m | n | p | |
O1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0.1 |
O2 | 1 | 0.3 | 0 | 0 | 1 | 0.4 | 1 | 0.5 | 0 |
O3 | 1 | 0 | 0 | * | * | * | * | * | * |
O4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
O5 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0.6 | 0 | 0.7 | 0 | 1 |
O6 | 0.1 | 0.4 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
O7 | * | * | * | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0.2 |
O8 | 0 | 0.8 | 1 | 0 | 0.7 | 1 | 0.8 | 1 | 0 |
定義5設S為一IFIS，其中a∈AT，對於"x，y ∈U，則x與y的悲觀相似度表示為RaPES：
RaPES(x，y) =Ra(x，y)，其中a(x)= *=>a(x)= φ.
在定義5中，我們使用空集來替代「*」，這樣做的目的是由於目前的模糊屬性值未知，所以就假定這樣的模糊屬性值是不存在的。
命題3設S為一IFIS，其中a ∈AT，x，y∈U，若a(x)= *，則對於，有RaPES(x，y) = 0。
證明：因為a(x)= *，所以根據定義5，就可以假設a(x)= φ，即。那麼根據定義2就可以得到，其中v∈Va，所以RaPES(x，y) = 0。
命題3說明了由於未知模糊屬性值被認為是不存在的，所以具有未知模糊屬性值的對象與其他對象的相似度就為0，即兩者之間被認為是不可比的。
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