一、問題提出
經常有同學搞不懂分式方程有增根和無解的區別，那麼，我們先來看這樣兩個例子．
例1：
解分式方程
分析：
我們先嘗試去分母，求解．
解：分式兩邊同乘3得，
3＝4x＋10－3，
x＝2．
x＝2是原方程的解嗎？
不是！
當x＝2時，恰好使原分式方程中的最簡公分母等於0，從而使分式方程無意義．這樣的根就叫做原分式方程的增根．
那麼，解分式方程產生增根的原因是什麼呢？
其實是在解分式方程兩邊同乘最簡公分母，即「去分母」時造成的，我們必須保證方程兩邊都乘的是同一個不為0的數．
而當x＝2時，相當於原分式方程的兩邊都乘的數是0，那麼變形前後的方程就不是同解方程了．說得再直觀些，比如一個整式方程2x＝4，只有一個解，若兩邊同乘0，變成了0x＝0，則有無數解，它們不是同解方程．
由此可見，我們應該在解出分式方程後，必須檢驗！
經檢驗，x＝2是增根，原方程無解．
例2：
解分式方程
分析：
我們先嘗試求解．
解：
兩邊同乘得，
x－1＝3－x＋2，
0x＝8．
什麼情況？！不可能吧！
完全有可能，此方程化為整式方程後，本身就已無解，當然原分式方程肯定就無解了．
原方程無解．
由此可見，分式方程無解不一定就是產生增根導致．
應該共包含兩種情形：
原方程去分母后的整式方程有解，但這個解使原方程的最簡公分母為0，是原分式方程的增根，從而原方程無解．
原方程去分母后的整式方程出現0x＝b的形式，此時整式方程無解，原方程也無解．
送一張圖，讓大家讀懂增根無解的區別與聯繫．
增根可能會導致無解
無解未必由增根導致
二、典例剖析
01:
有增根
Law
例1：
分析：
本題中，k是參數，我們先把分式方程轉化為整式方程，用k的代數式表示x，確定增根的值，則k的值可求．
解答：
例2：
分析：
由題意，可知最簡公分母為，則增根的值有2個，將其化成整式方程後，將兩個增根的值分別代入含k的代數式中，求出k．
解答：
例3：
分析：
由題意，可知最簡公分母為，則基本方法與例2相同．但本題特別之處在於，求出k後，若不重新代入回原式中檢驗，會出現轉化為整式方程就無解的情況，自然談不上增根了，所以，需要特別注意．而例2其實也需要檢驗．這兩題分開講的目的，是為了提醒同學們！
解答：
02:
無解
Law
例1：
分析：
無解的問題，其實反而比有增根的題不容易錯，因為我們反覆強調，有兩種情況整式方程的解是增根整式方程無解．因此，必須把兩種情況都考慮在內．
解答：
例2：
分析：
與例1一樣，兩種情況，不過在考慮有增根的情況下，應該注意增根有兩個．
解答：
03:
解有範圍
Law
例1：
分析：
顯然，還是要先把分式方程轉化為整式方程求解，用含參數的代數式表示未知數，根據解的範圍，建立含參數的不等式，求出參數的範圍．但這裡尤其值得注意的是，未知數不能是增根，即用含參數的代數式表示的x的值不能等於增根的值．
解答：
三、課後作業
分析：
第1、3、6題，視頻中已給出詳細講解，
具體可以掃碼查看，
剩餘2、4、5題答案如下．
解答：
上講思考題
以下為第四講《八下第4講 分式概念與運算易錯辨析（上）》思考題答案
經常有同學搞不懂分式方程有增根和無解的區別，那麼，我們先來看這樣兩個例子．
例1：
解分式方程
分析：
我們先嘗試去分母，求解．
解：分式兩邊同乘3得，
3＝4x＋10－3，
x＝2．
x＝2是原方程的解嗎？
不是！
當x＝2時，恰好使原分式方程中的最簡公分母等於0，從而使分式方程無意義．這樣的根就叫做原分式方程的增根．
那麼，解分式方程產生增根的原因是什麼呢？
其實是在解分式方程兩邊同乘最簡公分母，即「去分母」時造成的，我們必須保證方程兩邊都乘的是同一個不為0的數．
而當x＝2時，相當於原分式方程的兩邊都乘的數是0，那麼變形前後的方程就不是同解方程了．說得再直觀些，比如一個整式方程2x＝4，只有一個解，若兩邊同乘0，變成了0x＝0，則有無數解，它們不是同解方程．
由此可見，我們應該在解出分式方程後，必須檢驗！
經檢驗，x＝2是增根，原方程無解．
例2：
解分式方程
分析：
我們先嘗試求解．
解：
兩邊同乘得，
x－1＝3－x＋2，
0x＝8．
什麼情況？！不可能吧！
完全有可能，此方程化為整式方程後，本身就已無解，當然原分式方程肯定就無解了．
原方程無解．
由此可見，分式方程無解不一定就是產生增根導致．
應該共包含兩種情形：
原方程去分母后的整式方程有解，但這個解使原方程的最簡公分母為0，是原分式方程的增根，從而原方程無解．
原方程去分母后的整式方程出現0x＝b的形式，此時整式方程無解，原方程也無解．
送一張圖，讓大家讀懂增根無解的區別與聯繫．
增根可能會導致無解
無解未必由增根導致
二、典例剖析
01:
有增根
Law
例1：
分析：
本題中，k是參數，我們先把分式方程轉化為整式方程，用k的代數式表示x，確定增根的值，則k的值可求．
解答：
例2：
分析：
由題意，可知最簡公分母為，則增根的值有2個，將其化成整式方程後，將兩個增根的值分別代入含k的代數式中，求出k．
解答：
例3：
分析：
由題意，可知最簡公分母為，則基本方法與例2相同．但本題特別之處在於，求出k後，若不重新代入回原式中檢驗，會出現轉化為整式方程就無解的情況，自然談不上增根了，所以，需要特別注意．而例2其實也需要檢驗．這兩題分開講的目的，是為了提醒同學們！
解答：
02:
無解
Law
例1：
分析：
無解的問題，其實反而比有增根的題不容易錯，因為我們反覆強調，有兩種情況整式方程的解是增根整式方程無解．因此，必須把兩種情況都考慮在內．
解答：
例2：
分析：
與例1一樣，兩種情況，不過在考慮有增根的情況下，應該注意增根有兩個．
解答：
03:
解有範圍
Law
例1：
分析：
顯然，還是要先把分式方程轉化為整式方程求解，用含參數的代數式表示未知數，根據解的範圍，建立含參數的不等式，求出參數的範圍．但這裡尤其值得注意的是，未知數不能是增根，即用含參數的代數式表示的x的值不能等於增根的值．
解答：
三、課後作業
分析：
第1、3、6題，視頻中已給出詳細講解，
具體可以掃碼查看，
剩餘2、4、5題答案如下．
解答：
上講思考題
以下為第四講《八下第4講 分式概念與運算易錯辨析（上）》思考題答案
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