韋達定理是初中數學中的一條非常重要的定理，涉及的章節包括一元二次方程，二次函數。在中考中也多有涉及。
一、已知一元二次方程的一個根，求另一根
例1：關於x的一元二次方程（m﹣1）x²﹣x﹣2=0，若x=﹣1是方程的一個根，求m的值及另一個根．
分析 本題可直接解方程求出另一根，但如果應用韋達定理可更快解決．應用時應把方程化為一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）．根據選擇使得到另一根易於計算的原則，酌情選擇用兩根之和或兩根之積．
二、一元二次方程根、兩根關係及字母係數的互求
例2 已知關於x的一元二次方程x²＋6x＋a＝0（a為常數）的一個根為√11－3，求a的值．
三、求兩根和、積及其代數式的值．
例3．若x₁，x₂是關於x的方程x²﹣2x﹣5=0的兩根，則代數式x₁²﹣3x₁﹣x₂﹣6的值是_________．
分析：通過韋達定理求出x₁+x₂與x₁x₂的值，將其整體代入到所求的代數式中求值。
四、檢驗某兩數是否為已知一元二次方程的兩根
例4 試檢驗4＋3√2與4－3√2是不是方程x²－8x＋4＝0的兩根。
分析 本題可分別把兩數代入檢驗，但計算量大，如果應用韋達定理，可只檢驗兩數之和是否為8，兩數之積是否為4，若都符合則為原方程兩根，否則不是．
五、結合一元二次方程根的判別式判定一元二次方程實根的符號
例5 m為何值時，關於x的一元二次方程x²－mx＋1＝0的兩個根，
均為正數； 一正一負； 均為負數，
分析 本題用常規方法有一定難度．利用一元二次方程根的判別式與韋達定理相結合，比較容易確定兩根的符號．
一、已知一元二次方程的一個根，求另一根
例1：關於x的一元二次方程（m﹣1）x²﹣x﹣2=0，若x=﹣1是方程的一個根，求m的值及另一個根．
分析 本題可直接解方程求出另一根，但如果應用韋達定理可更快解決．應用時應把方程化為一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）．根據選擇使得到另一根易於計算的原則，酌情選擇用兩根之和或兩根之積．
二、一元二次方程根、兩根關係及字母係數的互求
例2 已知關於x的一元二次方程x²＋6x＋a＝0（a為常數）的一個根為√11－3，求a的值．
三、求兩根和、積及其代數式的值．
例3．若x₁，x₂是關於x的方程x²﹣2x﹣5=0的兩根，則代數式x₁²﹣3x₁﹣x₂﹣6的值是_________．
分析：通過韋達定理求出x₁+x₂與x₁x₂的值，將其整體代入到所求的代數式中求值。
四、檢驗某兩數是否為已知一元二次方程的兩根
例4 試檢驗4＋3√2與4－3√2是不是方程x²－8x＋4＝0的兩根。
分析 本題可分別把兩數代入檢驗，但計算量大，如果應用韋達定理，可只檢驗兩數之和是否為8，兩數之積是否為4，若都符合則為原方程兩根，否則不是．
五、結合一元二次方程根的判別式判定一元二次方程實根的符號
例5 m為何值時，關於x的一元二次方程x²－mx＋1＝0的兩個根，
均為正數； 一正一負； 均為負數，
分析 本題用常規方法有一定難度．利用一元二次方程根的判別式與韋達定理相結合，比較容易確定兩根的符號．
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