趙珍
摘要：光的折射、全反射問題是高中物理的經典問題，也是重點問題。針對一道光學考題中學生出現的問題，教師可以在新課或複習中引入光程的概念，運用費馬原理證明光的反射和折射定律，幫助學生深入理解該定律。
關鍵詞：高中物理 光學 教學建議
光的反射定律與全反射現象是人教版選擇性必修第一冊第四章《光》的重點內容，也是高考中選修3-4常考察的知識點。光學系統本身性質複雜，學生一般機械記憶，很難深入理解其內涵，造成實際使用出錯。本文藉助光程的概念，幾何證明了光的折射定律，解釋全反射現象，築牢幾何光學的根基，為大學物理的學習奠定基礎。
一、問題再現，找到癥結
問題 梅溪湖雷射噴泉是國內最長的音樂雷射噴泉，它利用先進的燈光影像設備，呈現出震撼人心的水光世界。噴泉的水池中某一射燈發出一細光束，光線射到水面上，入射的角度α=37°，從水面上出射的角度γ=53°。
（ⅰ）求光在水面上發生全反射的臨界角;
（ⅱ）該射燈（看作點光源）位於水面下h=7 m處，求射燈照亮的水面面積（結果保留兩位有效數字）。
該題為2020年合肥市二模第34題第二問，滿分10分。當時有4130人作答，平均分5.58，屬於較易題，主要考查全反射概念的理解、全反射折射模型的建構、應用數學運算解決物理問題等，重點落實物理觀念、科學思維的考查。然而在閱卷中，我們發現部分學生出現以下問題：
錯解 根據折射定律得sinαsinγ=n=34，由公式sinC=n得到臨界角C=arcsin34
二模後，筆者與學生交流得知：學生只知道折射定律的公式是sinθ1sinθ2=n，θ1表示入射角，θ2表示折射角，n代表折射率。如果n是相對摺射率也沒有問題，但高中階段教材上給的n是絕對摺射率，簡稱折射率，後面全反射現象「臨界角C與折射率的關係sinC=1n」中n也是指絕對摺射率。學生若只是機械記憶折射定律的公式，就會在應用中出現較大問題。
二、教學改進，突破難點
人教版選修第一冊通過「荷蘭數學家斯涅耳在1621年前後做了大量實驗，在分析前人及自己的實驗數據後，給出了入射角和折射角的關係，我們稱之為光的折射定律」直接給出折射定律，學生通過機械記憶被動地接受定律，效果可想而知。我們不妨在教學中引入光程的概念以證明折射定律和反射定律，幫助學生系統地學習幾何光學。
光程是指折射率與路程的乘積，用符號Δ表示：
Δ=nr，n為介質折射率，r為路程。
我們可以把光程理解為在相同時間內光在真空中通過的路程，它是一個摺合量，在同樣的傳播時間或相位不變的條件下，把光在介質中傳播的路程轉變為光在真空中傳播的路程。
無論折射定律還是反射定律，都是費馬原理的推導，其實質就是光的折射路徑和反射路徑總是沿著光程最短的方向。下面我們針對摺射定律做一個簡單的證明：
如圖1所示，光從折射率為n1的物質1經過O1點進入折射率為n2的物質2，入射角為α折射角為β。另一與之平行的光從O2點進入，多的光程為n1·AO2，進入物質2後，少的光程為n2·O1B，二者應相等。由幾何關係知∠AO1O2=α，
∠O1O2B=β，n1·AO2=n2·O1Bn1·O1O2·sinα=n2·O1O2·sinβn1·sinα=n2·sinβ，可以得到sinαsinβ=n2n1
折射定律得證。
若物質1為真空，折射定律可寫為sinαsinβ=n，此為高中物理課本給出的折射定律表達式。
我們也可以這樣理解：當光從光疏介質射入光密介質，因為光程最短的約束，光線會往法線方向偏移，直觀的反映就是介質中的路程變短，如圖2所示。通過這一性質可以幫助學生理解和記憶折射定律。
同理，可以證明反射定律：
位於同一介質中的入射光線與反射光線光程間的關係與實際距離間的關係是相同的，所以只要考慮實際距離間的關係即可。如圖3所示，O點為AB的中垂線與物質分介面的交點，假設光路沿著如圖AN到NB的路線，由三角形兩邊之和大於第三邊的性質可知，AO到OB為光程最短的路徑。關於法線，入射光線和反射光線是對稱的，反射角與入射角相等，反射定律得證。
全反射現象是指光從光密介質進入光疏介質時，光線全部被反射回原介質內的現象。也就是說，當入射角大到一定值（臨界值）時，我們發現只有反射光線，沒有折射光線，如果藉助光程很容易理解這個現象：
光密介質折射率較大，光疏介質折射率較小，受光程最小的約束，出射角大於入射角，隨著入射角的增大，出射光線就要向偏離法線方向移動，當出射角為90°，將沒有出射光線，此時入射角的值稱為臨界角，用C表示。當光疏介質為真空或空氣時，發生全反射的臨界角C和光密介質的折射率n的關係，可表示為sinαsinβ=n2n1sinC=1n。
三、遷移應用，提升能力
引入光程，通過幾何關係推導出折射定律，解釋了全反射現象，幫助學生理解其內涵。學生在實際中可以遷移應用，提升自身能力，實現物理學科素養的提高。如2020年全國Ⅱ卷第34題：
直角稜鏡的折射率n=1.5，其橫截面如圖4所示，圖中∠C=90°，∠A=30°。截面內一細束與BC邊平行的光線，從稜鏡AB邊上的D點射入，經折射後射到BC邊上。
（ⅰ）光線在BC邊上是否會發生全反射？說明理由;
（ⅱ）不考慮多次反射，求AC邊的出射光線與AB邊的入射光線夾角的正弦值。
理解了全反射思想的內涵，只要計算出光從稜鏡射入空氣發生全反射的臨界角C，就可以判斷出是否發生全反射;而第ⅱ小問，學生只要正確運用折射定律n1·sinα=n2·sinβ就可以解答。
解析：（ⅰ）如圖，入射角記為i，折射角記為r。折射光線與BC邊的交點記為E點。設光線在E點的入射角為θ，由幾何關係，有
θ=90°-（30°-r）>60°
根據題給數據得
sinθ>sin60°>1n
即θ大於全反射臨界角，因此光線在E點發生全反射。
（ⅱ）AC邊上的出射點記為F，出射角記為r′，入射角記為i′，由關係圖、反射定律及折射定律，有
i=30°
i′=90°-θ
sini=nsinr
nsini′=sinr′
聯立並代入題給數據，得
sinr′=22-34
由幾何關係，r′即AC邊的出射光線與AB邊的入射光線的夾角。
參考文獻：
[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.物理·選修·第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019：81.
[2]姚啟鈞.光學教程-第4版[M].北京：高等教育出版社，2008：15.
[3]李開瑋.光的反射與折射定律的兩種證明與聯想[J].南方農機，2020，51（09）：200-202.
摘要：光的折射、全反射問題是高中物理的經典問題，也是重點問題。針對一道光學考題中學生出現的問題，教師可以在新課或複習中引入光程的概念，運用費馬原理證明光的反射和折射定律，幫助學生深入理解該定律。
關鍵詞：高中物理 光學 教學建議
光的反射定律與全反射現象是人教版選擇性必修第一冊第四章《光》的重點內容，也是高考中選修3-4常考察的知識點。光學系統本身性質複雜，學生一般機械記憶，很難深入理解其內涵，造成實際使用出錯。本文藉助光程的概念，幾何證明了光的折射定律，解釋全反射現象，築牢幾何光學的根基，為大學物理的學習奠定基礎。
一、問題再現，找到癥結
問題 梅溪湖雷射噴泉是國內最長的音樂雷射噴泉，它利用先進的燈光影像設備，呈現出震撼人心的水光世界。噴泉的水池中某一射燈發出一細光束，光線射到水面上，入射的角度α=37°，從水面上出射的角度γ=53°。
（ⅰ）求光在水面上發生全反射的臨界角;
（ⅱ）該射燈（看作點光源）位於水面下h=7 m處，求射燈照亮的水面面積（結果保留兩位有效數字）。
該題為2020年合肥市二模第34題第二問，滿分10分。當時有4130人作答，平均分5.58，屬於較易題，主要考查全反射概念的理解、全反射折射模型的建構、應用數學運算解決物理問題等，重點落實物理觀念、科學思維的考查。然而在閱卷中，我們發現部分學生出現以下問題：
錯解 根據折射定律得sinαsinγ=n=34，由公式sinC=n得到臨界角C=arcsin34
二模後，筆者與學生交流得知：學生只知道折射定律的公式是sinθ1sinθ2=n，θ1表示入射角，θ2表示折射角，n代表折射率。如果n是相對摺射率也沒有問題，但高中階段教材上給的n是絕對摺射率，簡稱折射率，後面全反射現象「臨界角C與折射率的關係sinC=1n」中n也是指絕對摺射率。學生若只是機械記憶折射定律的公式，就會在應用中出現較大問題。
二、教學改進，突破難點
人教版選修第一冊通過「荷蘭數學家斯涅耳在1621年前後做了大量實驗，在分析前人及自己的實驗數據後，給出了入射角和折射角的關係，我們稱之為光的折射定律」直接給出折射定律，學生通過機械記憶被動地接受定律，效果可想而知。我們不妨在教學中引入光程的概念以證明折射定律和反射定律，幫助學生系統地學習幾何光學。
光程是指折射率與路程的乘積，用符號Δ表示：
Δ=nr，n為介質折射率，r為路程。
我們可以把光程理解為在相同時間內光在真空中通過的路程，它是一個摺合量，在同樣的傳播時間或相位不變的條件下，把光在介質中傳播的路程轉變為光在真空中傳播的路程。
無論折射定律還是反射定律，都是費馬原理的推導，其實質就是光的折射路徑和反射路徑總是沿著光程最短的方向。下面我們針對摺射定律做一個簡單的證明：
如圖1所示，光從折射率為n1的物質1經過O1點進入折射率為n2的物質2，入射角為α折射角為β。另一與之平行的光從O2點進入，多的光程為n1·AO2，進入物質2後，少的光程為n2·O1B，二者應相等。由幾何關係知∠AO1O2=α，
∠O1O2B=β，n1·AO2=n2·O1Bn1·O1O2·sinα=n2·O1O2·sinβn1·sinα=n2·sinβ，可以得到sinαsinβ=n2n1
折射定律得證。
若物質1為真空，折射定律可寫為sinαsinβ=n，此為高中物理課本給出的折射定律表達式。
我們也可以這樣理解：當光從光疏介質射入光密介質，因為光程最短的約束，光線會往法線方向偏移，直觀的反映就是介質中的路程變短，如圖2所示。通過這一性質可以幫助學生理解和記憶折射定律。
同理，可以證明反射定律：
位於同一介質中的入射光線與反射光線光程間的關係與實際距離間的關係是相同的，所以只要考慮實際距離間的關係即可。如圖3所示，O點為AB的中垂線與物質分介面的交點，假設光路沿著如圖AN到NB的路線，由三角形兩邊之和大於第三邊的性質可知，AO到OB為光程最短的路徑。關於法線，入射光線和反射光線是對稱的，反射角與入射角相等，反射定律得證。
全反射現象是指光從光密介質進入光疏介質時，光線全部被反射回原介質內的現象。也就是說，當入射角大到一定值（臨界值）時，我們發現只有反射光線，沒有折射光線，如果藉助光程很容易理解這個現象：
光密介質折射率較大，光疏介質折射率較小，受光程最小的約束，出射角大於入射角，隨著入射角的增大，出射光線就要向偏離法線方向移動，當出射角為90°，將沒有出射光線，此時入射角的值稱為臨界角，用C表示。當光疏介質為真空或空氣時，發生全反射的臨界角C和光密介質的折射率n的關係，可表示為sinαsinβ=n2n1sinC=1n。
三、遷移應用，提升能力
引入光程，通過幾何關係推導出折射定律，解釋了全反射現象，幫助學生理解其內涵。學生在實際中可以遷移應用，提升自身能力，實現物理學科素養的提高。如2020年全國Ⅱ卷第34題：
直角稜鏡的折射率n=1.5，其橫截面如圖4所示，圖中∠C=90°，∠A=30°。截面內一細束與BC邊平行的光線，從稜鏡AB邊上的D點射入，經折射後射到BC邊上。
（ⅰ）光線在BC邊上是否會發生全反射？說明理由;
（ⅱ）不考慮多次反射，求AC邊的出射光線與AB邊的入射光線夾角的正弦值。
理解了全反射思想的內涵，只要計算出光從稜鏡射入空氣發生全反射的臨界角C，就可以判斷出是否發生全反射;而第ⅱ小問，學生只要正確運用折射定律n1·sinα=n2·sinβ就可以解答。
解析：（ⅰ）如圖，入射角記為i，折射角記為r。折射光線與BC邊的交點記為E點。設光線在E點的入射角為θ，由幾何關係，有
θ=90°-（30°-r）>60°
根據題給數據得
sinθ>sin60°>1n
即θ大於全反射臨界角，因此光線在E點發生全反射。
（ⅱ）AC邊上的出射點記為F，出射角記為r′，入射角記為i′，由關係圖、反射定律及折射定律，有
i=30°
i′=90°-θ
sini=nsinr
nsini′=sinr′
聯立並代入題給數據，得
sinr′=22-34
由幾何關係，r′即AC邊的出射光線與AB邊的入射光線的夾角。
參考文獻：
[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.物理·選修·第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019：81.
[2]姚啟鈞.光學教程-第4版[M].北京：高等教育出版社，2008：15.
[3]李開瑋.光的反射與折射定律的兩種證明與聯想[J].南方農機，2020，51（09）：200-202.
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