學會、會學、樂學
——「數學廣角（重複）」教學設計與思考
徐長青
教學內容：人教版《數學》第六冊第八單元「數學廣角（重複）」。
教學目標：
「學會」：使學生藉助貼近生活的情境，利用集合的思想方法，解決簡單的實際問題，並能運用數學語言進行描述。
「會學」：使學生掌握解決重複問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性。
「樂學」：通過豐富、直觀的遊戲活動，發展形象思維，提升抽象思維能力；使學生在主動參加數學活動的過程中獲得成功的體驗，提高學生學習數學的興趣與能力。
教學重點：通過具有現實意義的數學活動，幫助學生自主建構集合思想，初步理解集合思想的基本內涵。
教學難點：藉助學生熟悉的題材，滲透集合的有關思想，並利用直觀圖的方式求出兩個小組的總人數。
教學方法：集合和等量代換的理論都是比較系統、抽象的數學思想方法，在這裡，只是讓學生通過生活中容易理解的題材初步體會這兩種思想方法，為後繼學習打下必要的基礎，學生只要能夠用自己的方法解決問題就可以了。教學時，教師不要使用集合、集合的元素、基數、交集、並集、等量代換等數學化的語言進行描述，而應設置情境、安排遊戲活動，營造平等、自由的學習氛圍並鼓勵學生自主創新。
一、情景引入，感受新知
1.播放課件：理髮師的困惑
某理髮師正在給客人理髮，就聽門一聲響,「叔叔,我和爸爸要剃頭」。門又一聲響,「師傅,給我和我父親剃個頭」。這時,理髮師抬起頭一看，他很納悶……
師：你們猜猜，理髮師為什麼納悶啊?
期待生成：學生紛紛猜測，可能回答「我認為是他該給幾個人理髮」或是「該用什麼順序給他們理髮」。
開始學生會覺得是四個，繼續猜想，發現也有可能是三個人。
【設計意圖：設計懸念，理解感受、鼓勵猜想，引發多元思維。】
2.提出疑惑
師：真有同學猜對了！可為什麼是三個人？（教師此時應故作茫然狀）
期待生成：鼓勵學生積極表述。
一般在幾次回答之後就會有學生提到「爺爺」「爸爸」「兒子」的關係。
【設計意圖:兩對父子，卻只有三個人，以此製造認知衝突，激活學生思維。】
3.師生互動：教師挑戰
教師激疑：故事裡只提到父子，沒有「爺爺」呀？
期待生成：有一個人既是兒子的爸爸，又是爺爺的兒子。
教師板書：既……又……
【設計意圖:讓學生初步感受重複。同時，對「既……又……」的強調實現了學科間的整合，為學生思考重複提供了語言「拐杖」。】
4．共同揭示：手指演示
師：看來，問題出在誰身上？
期待生成:一個人代表了兩個身份。
教師板書：兩個身份。
【設計意圖：利用生活模型，初步揭示重複元素的特點，為後續深入的認識埋下伏筆。】
二、活動體驗，揭示新知
1.遊戲體驗
（1）「搶椅子」遊戲
師：找兩個同學，兩把椅子進行搶椅子遊戲。
期待生成：學生馬上表示無法遊戲。教師趁機提出：應該如何安排人數與椅子數？
教師提供選擇：你們是選減少椅子呀還是增加人？
生成1：增加人。（其實，這是必然的，要是再減少椅子，兩個人搶一把椅子，一輪就分出勝負，遊戲就結束了。教師根據學生「增加人」的要求，順勢而為，有意識地叫上四名學生）
生成2：增加椅子。（其實這和增加人是一樣的，增加了椅子後，必須相應地增加人才能玩「搶椅子」的遊戲。教師根據學生最高的呼聲，進一步組織教學）
【設計意圖：安排遊戲，激發所有學生參與學習的興趣。同時，讓學生再次體驗新知，滲透一一對應的思想。】
（2）「猜拳」遊戲
師：對不起，人數太多了，但椅子不能再增加了，怎麼辦？（根據生成1組織教學）
期待生成：學生們用「石頭、剪子、布」的方法決定遊戲選手，並確定為一個新的遊戲活動——猜拳遊戲。（前面教師叫上四名學生，而這又為猜拳遊戲埋下伏筆，教學巧妙地過渡到下一個環節）
學生猜拳遊戲後，淘汰三名學生，剩下一名參與「搶椅子」遊戲。
【設計意圖：自主決策，體現遊戲公平，同時讓教師組織的活動變成學生自己決定的活動，讓學生樂於參與。】
三、深度體驗，理解新知
第一層體驗：
情景激勵：對搶椅子遊戲的獲勝者採訪並提出表揚。
期待生成：每一個參加遊戲活動的同學都應受到表揚。
師：請參加遊戲活動的7位同學起立，接受大家的掌聲！（學生起立後，教師再次作茫然狀）少一個人啊！誰沒站起來？
【設計意圖：教師的茫然，是挑起認知衝突，把學生推上前台。】
師生「對抗」：學生堅持「就6個人」，教師堅持「不，7個人！3個搶椅子，4個猜拳」。（此時，教師應給學生充分的時間，別忙著下結論，和學生多「對抗」幾個回合，讓每個學生都關注到結論的矛盾性）
教師為說明自己的觀點，板書：3+4=7，引發學生爭議。
期待生成：學生不斷地表述，描述實際的情況，教師故意固執己見。
第二層體驗：
情景探究：取出兩個呼啦圈，並分別表示兩個遊戲活動，引導學生認同。
師：一個圈裡有3個人，另一個圈裡有4個人，一共6個人你們對了，7個人我就對了。
引發衝突：其中一個學生在兩個圈中不斷地跑動。
教師適時強調：一個圈裡有3個人，另一個圈裡有4個人才行，你們不能不守規則。
師退生進：教師退出活動現場，要求學生自己解決兩個呼啦圈分別圈住玩兩個遊戲的學生的問題。
【設計意圖：在這裡，呼啦圈是集合圖的生活模型。】
期待生成：由於6人不能滿足一個圈裡有3個人，另一個圈裡有4個人的條件，從而將兩個圈交叉在一起，玩了兩個遊戲的學生站在中間交叉的位置。期待學生們自發的掌聲。（教師應注意等待，相信學生會成功，避免暗示與干擾）
教師現場計數，確認實際人數是6人。
【設計意圖：教師的離開，將活動的主動權交給了學生。學生的潛能被激發，利用呼啦圈很好地解決了矛盾。這個過程看似在遊戲，其實卻是引導學生深入地認識重複。】
第三層體驗：
教師根據呼啦圈中一共有6個人，順勢板書：3+4=6，再次引發學生質疑。
期待生成：3+4-1=6。
教師追問：為什麼-1？這個1是誰？（學生會說是玩了兩個遊戲的學生）
現場演示：請中間的（玩了兩個遊戲的學生）走出呼啦圈，教師再次計數，怎麼是5個人了？
期待生成：-1的1不是那個同學，而是他兩個角色里的一個。
教師追問：如果這個同學參加三個遊戲，應怎樣？……
【設計意圖：當學生以為自己已經成功地解決問題後，教師的板書又將學生的思維引向了深處。通過「3+4=6」的矛盾，引導學生深刻地體會到集合中公共元素所代表的意義，從而引向「1與2」的對應，甚至「1與多」的對應。】
階段小結：這種現象是重複（板書：重複），它可以用語文的關聯詞「既……又……」來表示。
指導學生將呼啦圈「拓」在黑板上，並用雙手做出交叉的形狀，同時在螢幕上打出標準的集合（交集）圖像。
【設計意圖：由呼啦圈到集合圖，讓學生經歷了數學知識由直觀到抽象的形成過程。經歷了這個過程，學生對集合圖的認識才是豐富的、具體的，才是有經驗作為支撐的。】
第四層體驗：
情境活動：請玩「搶椅子」遊戲的學生將自己的名字貼到數學圈裡。
教師追問：將這個學生的名字放到這裡，行嗎？（教師整理姓名時故意將名字移動，引發學生質疑）
【設計意圖：讓學生感受到，名字只要在「數學圈」（集合圖）里即可，而貼在圈裡哪個地方不是本質。】
教師提問：請玩「猜拳」遊戲的學生也將自己的名字貼到數學圈裡。
可能的生成：1.兩次都玩的學生將自己的名字分別貼在兩個圈裡。2.兩次都玩的學生將自己的兩個名字都貼在公共部分。3.兩次都玩的學生只將自己的一個名字貼在公共部分。
因勢利導：如果出現第1、2種情況，教師再次與學生一起計數，引發質疑（再次揭示-1的含義）。
思維挑戰：如果這兩個名字都必須貼到黑板上，怎麼辦？
期待生成：學生將兩個名字重合貼到一起。
【設計意圖：將形象的活動與感性的認識提升為抽象的數學問題和理性的數學思考，實現學生認識上的飛躍，並為後面的問題解決和深度的數學體驗打下基礎。】
四、問題解決，運用新知
花名冊里的故事：
三年級一班有女生19人，男生17人，全班一共有學生多少人？
教師追問：為什麼不-1？
引導學生正確區分哪種情況有重複，哪種情況沒有重複。
【設計意圖：在沒有重複的反向思維中加深對重複的理解，防止學生出現思維固化，鞏固理解，合理運用。】
五、回歸情景，拓展新知
社會小調查：給爸爸找位置
一個數學圈代表抽煙的爸爸圈，一個數學圈代表喝酒的爸爸圈。（黑板顯示兩個交叉的圈）學生貼好名字，特別是引導學生確定既不喝酒又不抽煙的爸爸的位置。
板書：既不……，也不……
【設計意圖：滲透全集概念。】
結束語：
師：今天學習的「重複」長大了叫「集合」，你們長大後可別不認識它呀！
【設計意圖：知識的連結與拓展。】
——「數學廣角（重複）」教學設計與思考
徐長青
教學內容：人教版《數學》第六冊第八單元「數學廣角（重複）」。
教學目標：
「學會」：使學生藉助貼近生活的情境，利用集合的思想方法，解決簡單的實際問題，並能運用數學語言進行描述。
「會學」：使學生掌握解決重複問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性。
「樂學」：通過豐富、直觀的遊戲活動，發展形象思維，提升抽象思維能力；使學生在主動參加數學活動的過程中獲得成功的體驗，提高學生學習數學的興趣與能力。
教學重點：通過具有現實意義的數學活動，幫助學生自主建構集合思想，初步理解集合思想的基本內涵。
教學難點：藉助學生熟悉的題材，滲透集合的有關思想，並利用直觀圖的方式求出兩個小組的總人數。
教學方法：集合和等量代換的理論都是比較系統、抽象的數學思想方法，在這裡，只是讓學生通過生活中容易理解的題材初步體會這兩種思想方法，為後繼學習打下必要的基礎，學生只要能夠用自己的方法解決問題就可以了。教學時，教師不要使用集合、集合的元素、基數、交集、並集、等量代換等數學化的語言進行描述，而應設置情境、安排遊戲活動，營造平等、自由的學習氛圍並鼓勵學生自主創新。
一、情景引入，感受新知
1.播放課件：理髮師的困惑
某理髮師正在給客人理髮，就聽門一聲響,「叔叔,我和爸爸要剃頭」。門又一聲響,「師傅,給我和我父親剃個頭」。這時,理髮師抬起頭一看，他很納悶……
師：你們猜猜，理髮師為什麼納悶啊?
期待生成：學生紛紛猜測，可能回答「我認為是他該給幾個人理髮」或是「該用什麼順序給他們理髮」。
開始學生會覺得是四個，繼續猜想，發現也有可能是三個人。
【設計意圖：設計懸念，理解感受、鼓勵猜想，引發多元思維。】
2.提出疑惑
師：真有同學猜對了！可為什麼是三個人？（教師此時應故作茫然狀）
期待生成：鼓勵學生積極表述。
一般在幾次回答之後就會有學生提到「爺爺」「爸爸」「兒子」的關係。
【設計意圖:兩對父子，卻只有三個人，以此製造認知衝突，激活學生思維。】
3.師生互動：教師挑戰
教師激疑：故事裡只提到父子，沒有「爺爺」呀？
期待生成：有一個人既是兒子的爸爸，又是爺爺的兒子。
教師板書：既……又……
【設計意圖:讓學生初步感受重複。同時，對「既……又……」的強調實現了學科間的整合，為學生思考重複提供了語言「拐杖」。】
4．共同揭示：手指演示
師：看來，問題出在誰身上？
期待生成:一個人代表了兩個身份。
教師板書：兩個身份。
【設計意圖：利用生活模型，初步揭示重複元素的特點，為後續深入的認識埋下伏筆。】
二、活動體驗，揭示新知
1.遊戲體驗
（1）「搶椅子」遊戲
師：找兩個同學，兩把椅子進行搶椅子遊戲。
期待生成：學生馬上表示無法遊戲。教師趁機提出：應該如何安排人數與椅子數？
教師提供選擇：你們是選減少椅子呀還是增加人？
生成1：增加人。（其實，這是必然的，要是再減少椅子，兩個人搶一把椅子，一輪就分出勝負，遊戲就結束了。教師根據學生「增加人」的要求，順勢而為，有意識地叫上四名學生）
生成2：增加椅子。（其實這和增加人是一樣的，增加了椅子後，必須相應地增加人才能玩「搶椅子」的遊戲。教師根據學生最高的呼聲，進一步組織教學）
【設計意圖：安排遊戲，激發所有學生參與學習的興趣。同時，讓學生再次體驗新知，滲透一一對應的思想。】
（2）「猜拳」遊戲
師：對不起，人數太多了，但椅子不能再增加了，怎麼辦？（根據生成1組織教學）
期待生成：學生們用「石頭、剪子、布」的方法決定遊戲選手，並確定為一個新的遊戲活動——猜拳遊戲。（前面教師叫上四名學生，而這又為猜拳遊戲埋下伏筆，教學巧妙地過渡到下一個環節）
學生猜拳遊戲後，淘汰三名學生，剩下一名參與「搶椅子」遊戲。
【設計意圖：自主決策，體現遊戲公平，同時讓教師組織的活動變成學生自己決定的活動，讓學生樂於參與。】
三、深度體驗，理解新知
第一層體驗：
情景激勵：對搶椅子遊戲的獲勝者採訪並提出表揚。
期待生成：每一個參加遊戲活動的同學都應受到表揚。
師：請參加遊戲活動的7位同學起立，接受大家的掌聲！（學生起立後，教師再次作茫然狀）少一個人啊！誰沒站起來？
【設計意圖：教師的茫然，是挑起認知衝突，把學生推上前台。】
師生「對抗」：學生堅持「就6個人」，教師堅持「不，7個人！3個搶椅子，4個猜拳」。（此時，教師應給學生充分的時間，別忙著下結論，和學生多「對抗」幾個回合，讓每個學生都關注到結論的矛盾性）
教師為說明自己的觀點，板書：3+4=7，引發學生爭議。
期待生成：學生不斷地表述，描述實際的情況，教師故意固執己見。
第二層體驗：
情景探究：取出兩個呼啦圈，並分別表示兩個遊戲活動，引導學生認同。
師：一個圈裡有3個人，另一個圈裡有4個人，一共6個人你們對了，7個人我就對了。
引發衝突：其中一個學生在兩個圈中不斷地跑動。
教師適時強調：一個圈裡有3個人，另一個圈裡有4個人才行，你們不能不守規則。
師退生進：教師退出活動現場，要求學生自己解決兩個呼啦圈分別圈住玩兩個遊戲的學生的問題。
【設計意圖：在這裡，呼啦圈是集合圖的生活模型。】
期待生成：由於6人不能滿足一個圈裡有3個人，另一個圈裡有4個人的條件，從而將兩個圈交叉在一起，玩了兩個遊戲的學生站在中間交叉的位置。期待學生們自發的掌聲。（教師應注意等待，相信學生會成功，避免暗示與干擾）
教師現場計數，確認實際人數是6人。
【設計意圖：教師的離開，將活動的主動權交給了學生。學生的潛能被激發，利用呼啦圈很好地解決了矛盾。這個過程看似在遊戲，其實卻是引導學生深入地認識重複。】
第三層體驗：
教師根據呼啦圈中一共有6個人，順勢板書：3+4=6，再次引發學生質疑。
期待生成：3+4-1=6。
教師追問：為什麼-1？這個1是誰？（學生會說是玩了兩個遊戲的學生）
現場演示：請中間的（玩了兩個遊戲的學生）走出呼啦圈，教師再次計數，怎麼是5個人了？
期待生成：-1的1不是那個同學，而是他兩個角色里的一個。
教師追問：如果這個同學參加三個遊戲，應怎樣？……
【設計意圖：當學生以為自己已經成功地解決問題後，教師的板書又將學生的思維引向了深處。通過「3+4=6」的矛盾，引導學生深刻地體會到集合中公共元素所代表的意義，從而引向「1與2」的對應，甚至「1與多」的對應。】
階段小結：這種現象是重複（板書：重複），它可以用語文的關聯詞「既……又……」來表示。
指導學生將呼啦圈「拓」在黑板上，並用雙手做出交叉的形狀，同時在螢幕上打出標準的集合（交集）圖像。
【設計意圖：由呼啦圈到集合圖，讓學生經歷了數學知識由直觀到抽象的形成過程。經歷了這個過程，學生對集合圖的認識才是豐富的、具體的，才是有經驗作為支撐的。】
第四層體驗：
情境活動：請玩「搶椅子」遊戲的學生將自己的名字貼到數學圈裡。
教師追問：將這個學生的名字放到這裡，行嗎？（教師整理姓名時故意將名字移動，引發學生質疑）
【設計意圖：讓學生感受到，名字只要在「數學圈」（集合圖）里即可，而貼在圈裡哪個地方不是本質。】
教師提問：請玩「猜拳」遊戲的學生也將自己的名字貼到數學圈裡。
可能的生成：1.兩次都玩的學生將自己的名字分別貼在兩個圈裡。2.兩次都玩的學生將自己的兩個名字都貼在公共部分。3.兩次都玩的學生只將自己的一個名字貼在公共部分。
因勢利導：如果出現第1、2種情況，教師再次與學生一起計數，引發質疑（再次揭示-1的含義）。
思維挑戰：如果這兩個名字都必須貼到黑板上，怎麼辦？
期待生成：學生將兩個名字重合貼到一起。
【設計意圖：將形象的活動與感性的認識提升為抽象的數學問題和理性的數學思考，實現學生認識上的飛躍，並為後面的問題解決和深度的數學體驗打下基礎。】
四、問題解決，運用新知
花名冊里的故事：
三年級一班有女生19人，男生17人，全班一共有學生多少人？
教師追問：為什麼不-1？
引導學生正確區分哪種情況有重複，哪種情況沒有重複。
【設計意圖：在沒有重複的反向思維中加深對重複的理解，防止學生出現思維固化，鞏固理解，合理運用。】
五、回歸情景，拓展新知
社會小調查：給爸爸找位置
一個數學圈代表抽煙的爸爸圈，一個數學圈代表喝酒的爸爸圈。（黑板顯示兩個交叉的圈）學生貼好名字，特別是引導學生確定既不喝酒又不抽煙的爸爸的位置。
板書：既不……，也不……
【設計意圖：滲透全集概念。】
結束語：
師：今天學習的「重複」長大了叫「集合」，你們長大後可別不認識它呀！
【設計意圖：知識的連結與拓展。】
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