1關於鏟裝過程的數學模型所提出的假設
工程問題到數學問題的轉變不可避免地涉及到部分條件的假設，以保證對物理過程進行定性描述的數學方程的精簡性，提出的假設要求必須對所研究的目標物理參數影響小。提出假設是為研究問題方便而做的工作準備，同時能提高求解智能裝載機器人裝載效率最優解時的代碼執行效率。對本研究所建立的數學模型作出以下假設。(1)物料的濕度較低，物料自身的黏著係數對滿斗率影響很小。(2)鏟斗鏟入料堆過程中所受的阻力對滿斗率無影響。(3)鏟斗鏟入料堆時為水平鏟入，且物料堆體積足夠大，物料平均塊度不能大於 10 mm。(4)鏟斗在提升過程中可被鏟斗影響的物料能全部落入鏟斗的空斗區域。
2 裝載機鏟裝過程的數學模型
2. 1 裝載機裝載過程分析
裝載機鏟斗鏟裝物料過程中受力複雜，但是鏟裝的主要能耗集中在克服鏟斗鏟入阻力以及物料提升2 個階段，其中克服鏟斗鏟入阻力做功主要是將鏟斗前刃鏟入物料中，此時鏟斗內的物料為主動填充物料，鏟斗的滿斗率大小和鏟斗鏟入物料的深度有很大的關係。鏟斗鏟入物料的過程是劇烈能耗的過程，由於裝載機本身功率大小的限制，通常在鏟斗鏟入一定深度後裝載機整車速度會降低為 0，此時裝載機無法繼續前行鏟挖，因此鏟入深度是一個限制裝載機性能的重要參數。裝載機鏟斗鏟入深度的大小受鏟挖物料種類的影響，低密度堆積物料的鏟斗鏟入深度要更大，高密度堆積物料的鏟斗鏟入深度更小。鏟斗在完成主動填充物料之後就是鏟斗提升階段，此階段進一步使部分可被鏟斗影響的鏟斗外物料旋轉落入鏟斗內，對滿斗率起著至關重要的作用，此時落入的物料填充的區域為鏟斗作業時的空斗區域。
2. 2 鏟裝過程的數學模型
鏟斗鏟裝物料的多少等於鏟斗在完成水平鏟入物料後已經入斗的物料量加上隨後鏟斗上升時影響並落入鏟斗的物料量之和。為建立裝入物料的數學模型，需要先以鏟斗側面的中間面為模型面，建立一個笛卡爾坐標系，坐標系原點取鏟斗側面的中間面上鏟斗鏟入物料堆的鏟入點，在鏟入物料的過程中，鏟斗為運動件，物料相對靜止。
圖 1 為在笛卡爾坐標系中，
當鏟入深度 d=0 mm 時，鏟斗與物料堆的相對位置。隨著鏟裝作業的進行，f 1 為鏟斗底面曲線函數，f 2 為鏟鬥鬥面函數，f 3 為料堆中間面的物料堆的外形函數，鏟裝時鏟斗運動，即 f 1 、f 2 發生移動。圖 1 鏟裝過程的坐標系建立Fig．1 Coordinate system of scoop process當 d≥0 時，引入參數 S t 、S e :S t 為中心面處鏟斗鏟入後可影響的鏟斗外的物料面積，S e 為中心面處鏟斗水平鏟入物料的空斗面積，根據定積分的意義，可以將中心面處單獨區域的面積求解轉變成對變限積分求解。在建立 S t 數學模型的過程中，將料堆的外形函數視為靜態，斗形函數視為動態，鏟裝的過程中 S t 便可以等效為變函數的定積分問題，由此可以得出 S t 的函數為S t = ∫dc( xtanα+ xtanβ － dtanβ) dx，(1)式中，d 為鏟斗水平鏟入深度，mm;c 為鏟鬥鬥面與料堆交點的橫軸坐標值，mm;α 為料堆自然安息角，(°); β 為鏟斗前角，(°)。為了方便建立鏟斗水平鏟入物料時空斗面積的數學模型，需要對動態函數進行靜態處理和對鏟斗單獨取坐標系變化，這樣可以將本來複雜的多函數移動轉變成單函數移動，這個過程便是將 f 1 和 f 2 視為已確定函數，f 3 為變函數，f 3 函數與縱軸截距的意義為鏟斗鏟入深度 d，
圖 2 為轉化後鏟斗所在的坐標系。
圖 2 鏟斗坐標系變換Fig．2 Coordinate system transformation of bucket在完成對問題的簡化後便需要對 S e 的變化進行數學模型建立。通過圖 2 可知，中心面處鏟斗的空斗面積 S e 的變化為分段函數，為此也需要在建立數學模型時進行分段處理。在已經變換好的坐標系中，斗形函數 f 1 和鏟鬥鬥面函數 f 2 轉變為已確定函數，而f 3 函數為變函數，隨著鏟入深度的增加 S e 不斷減小，求解 S e 就變成了在變函數的條件下對函數圍成面積的求解。至此，便可以得出S e= S1－ ∫0α 1ytanπ2－ β( )－y － dtan α + β －π2( )????????dy，0 ≤ d ＜槡200 3;S e = ∫0α 2r 2－ x槡2+ y1－ xtan α + βπ2( )－ d[ ]dx，d ≥槡200 3;式中，α 1 為料堆外形函數與鏟鬥鬥形函數的交點在 y軸上的數值，mm;α 2 為料堆外形函數與鏟鬥鬥底函數的交點在 x 軸上的數值，mm;r 為鏟鬥鬥形曲率半徑，mm;y 1 為鏟鬥鬥形曲率圓心所處的位置，mm; S 1為鏟斗側面面積，mm 2 。通過工程問題數學化的轉變，在鏟裝過程中中心面的表示函數所圍成面積的變限積分 S t 、S e 就已經得出，S t 、S e 是為解決滿斗率問題所建立的初步的數學模型，也為接下來求解體積函數做好了前期準備。S t 、S e 函數的成功建立也是體積函數建立的必要前提，保證了函數的可解性。關於變限積分的面積函數的建立至此已經結束，接下來便是討論如何建立可行有效的體積函數。在考慮體積函數的問題時，需要再次轉換看待問題的角度，把平面問題實體化。根據對鏟斗和料堆的實際了解可以知道:如果以中心面為基準，鏟斗的物料體積函數 V e 便可以直接通過鏟斗面積與斗長的乘積得到，對於鏟斗的空斗面積也是類似的原理。至此體積函數 V e 便已經確定，但是體積函數 V t 還未確定。V t的相關量 S t 是一個較為複雜的變上下限積分，如果要求解 V t ，就要考慮到料堆的外形。已知的料堆外形可以近似地認為是圓錐體，V t 也可以看成是 S t 的旋轉體積，所以求解出 V t 函數的結果就是已知面積的旋轉體積的數值。通過對體積函數 V e 和 V t 的分析，可以得出 V e 和 V t 的函數V t =πarcsinl2r 1( )360°(dtanαr 1+ St )2－ (dtanαr 1 )2[ ] ，V e= lSe ，式中，l為鏟鬥鬥長，mm;r 1 為鏟斗可影響的最高點對應的圓錐料堆的頂部圓錐底面圓半徑，mm。已得出的 V e 、V t 體積函數之比便是對通用鏟裝物理過程的數學描述，得到數學模型後還需要就函數中某一相關因素對滿斗率的影響進行討論，驗證數學模型的正確性。本研究之後便是利用已建立的數學模型就鏟入深度與滿斗率之間的關係進行一次初步求解。
3 相關參數的選取
以廣西柳州工程機械股份有限公司的 Zl50 系列輪式裝載機的鏟斗數據為數學模型中的鏟斗參數依據，從而得出數學模型的求解結果。鏟斗底板尺寸 b x取 690 mm，鏟鬥鬥長 l 為 2 970 mm，鏟斗側面斗寬 b w取 1 200 mm，鏟斗前角 β 為 60°，鏟鬥鬥底曲率半逕取600 mm。料堆為礦石料堆，自然安息角 α 為35° ，鏟斗鏟入料堆的水平面上的料堆面的半逕取 4 000 mm。
4 鏟裝過程的數學模型求解
取定相關參數後，鏟裝數學模型中剩餘未知量為1 個自變量和 2 個因變量，自變量為鏟入深度 d，因變量為物料體積函數 V e 和 V t 。在建立鏟裝過程的數學模型後，試探性地對鏟斗鏟入深度與滿斗率之間的關係進行求解，主要是為了驗證鏟裝過程數學模型的有效性和對某一具體問題的可解性。因此，對於鏟裝數學模型的求解分為數學模型中的斗形函數驗證和鏟斗物料填充率的最優解的求解兩大部分。其中斗形函數的驗證為數學模型有效性的驗證，鏟斗物料填充率的最優解的求解為驗證數學模型的可解性。
4. 1 鏟斗數學模型的斗形函數驗證
根據已建立的鏟裝過程的數學模型可知，斗形函數為變限積分函數。為驗證建立的數學模型的有效性，需要利用 MATLAB 的函數可視化處理，對比數學模型中的變限積分函數與實際斗形是否基本符合。將相關參數輸入鏟裝過程的數學模型中的被積分函數，得出斗形如圖 3 所示。圖 3 斗形函數求解結果Fig．3 Ｒesults of solving bucket shape function
6 結 論本研究所建立的數學模型對工程實際有很強的適用性，可以利用該模型求解出各類參數的鏟斗在工作時的最佳鏟入深度，使得鏟斗的滿斗率達到最大值，提高資源的利用率。也可將鏟斗外形函數設為求解目標，利用鏟裝過程中滿斗率的數學模型優化鏟斗尺寸，如何利用鏟裝過程滿斗率的數學模型對鏟斗參數優化設計，也是筆者正在探求的一個問題。此外，如果料堆的安息角與重力加速度之間的數學關係能夠明確，鏟裝過程的數學模型可用於討論不同重力下的鏟裝機理。本研究所建立的鏟斗裝載過程的數學模型也可用於智能裝載機器人裝載過程的主動求解優化，在不同的情況下求解出最優的鏟入深度，提高工作效率，降低能耗。
工程問題到數學問題的轉變不可避免地涉及到部分條件的假設，以保證對物理過程進行定性描述的數學方程的精簡性，提出的假設要求必須對所研究的目標物理參數影響小。提出假設是為研究問題方便而做的工作準備，同時能提高求解智能裝載機器人裝載效率最優解時的代碼執行效率。對本研究所建立的數學模型作出以下假設。(1)物料的濕度較低，物料自身的黏著係數對滿斗率影響很小。(2)鏟斗鏟入料堆過程中所受的阻力對滿斗率無影響。(3)鏟斗鏟入料堆時為水平鏟入，且物料堆體積足夠大，物料平均塊度不能大於 10 mm。(4)鏟斗在提升過程中可被鏟斗影響的物料能全部落入鏟斗的空斗區域。
2 裝載機鏟裝過程的數學模型
2. 1 裝載機裝載過程分析
裝載機鏟斗鏟裝物料過程中受力複雜，但是鏟裝的主要能耗集中在克服鏟斗鏟入阻力以及物料提升2 個階段，其中克服鏟斗鏟入阻力做功主要是將鏟斗前刃鏟入物料中，此時鏟斗內的物料為主動填充物料，鏟斗的滿斗率大小和鏟斗鏟入物料的深度有很大的關係。鏟斗鏟入物料的過程是劇烈能耗的過程，由於裝載機本身功率大小的限制，通常在鏟斗鏟入一定深度後裝載機整車速度會降低為 0，此時裝載機無法繼續前行鏟挖，因此鏟入深度是一個限制裝載機性能的重要參數。裝載機鏟斗鏟入深度的大小受鏟挖物料種類的影響，低密度堆積物料的鏟斗鏟入深度要更大，高密度堆積物料的鏟斗鏟入深度更小。鏟斗在完成主動填充物料之後就是鏟斗提升階段，此階段進一步使部分可被鏟斗影響的鏟斗外物料旋轉落入鏟斗內，對滿斗率起著至關重要的作用，此時落入的物料填充的區域為鏟斗作業時的空斗區域。
2. 2 鏟裝過程的數學模型
鏟斗鏟裝物料的多少等於鏟斗在完成水平鏟入物料後已經入斗的物料量加上隨後鏟斗上升時影響並落入鏟斗的物料量之和。為建立裝入物料的數學模型，需要先以鏟斗側面的中間面為模型面，建立一個笛卡爾坐標系，坐標系原點取鏟斗側面的中間面上鏟斗鏟入物料堆的鏟入點，在鏟入物料的過程中，鏟斗為運動件，物料相對靜止。
圖 1 為在笛卡爾坐標系中，
當鏟入深度 d=0 mm 時，鏟斗與物料堆的相對位置。隨著鏟裝作業的進行，f 1 為鏟斗底面曲線函數，f 2 為鏟鬥鬥面函數，f 3 為料堆中間面的物料堆的外形函數，鏟裝時鏟斗運動，即 f 1 、f 2 發生移動。圖 1 鏟裝過程的坐標系建立Fig．1 Coordinate system of scoop process當 d≥0 時，引入參數 S t 、S e :S t 為中心面處鏟斗鏟入後可影響的鏟斗外的物料面積，S e 為中心面處鏟斗水平鏟入物料的空斗面積，根據定積分的意義，可以將中心面處單獨區域的面積求解轉變成對變限積分求解。在建立 S t 數學模型的過程中，將料堆的外形函數視為靜態，斗形函數視為動態，鏟裝的過程中 S t 便可以等效為變函數的定積分問題，由此可以得出 S t 的函數為S t = ∫dc( xtanα+ xtanβ － dtanβ) dx，(1)式中，d 為鏟斗水平鏟入深度，mm;c 為鏟鬥鬥面與料堆交點的橫軸坐標值，mm;α 為料堆自然安息角，(°); β 為鏟斗前角，(°)。為了方便建立鏟斗水平鏟入物料時空斗面積的數學模型，需要對動態函數進行靜態處理和對鏟斗單獨取坐標系變化，這樣可以將本來複雜的多函數移動轉變成單函數移動，這個過程便是將 f 1 和 f 2 視為已確定函數，f 3 為變函數，f 3 函數與縱軸截距的意義為鏟斗鏟入深度 d，
圖 2 為轉化後鏟斗所在的坐標系。
圖 2 鏟斗坐標系變換Fig．2 Coordinate system transformation of bucket在完成對問題的簡化後便需要對 S e 的變化進行數學模型建立。通過圖 2 可知，中心面處鏟斗的空斗面積 S e 的變化為分段函數，為此也需要在建立數學模型時進行分段處理。在已經變換好的坐標系中，斗形函數 f 1 和鏟鬥鬥面函數 f 2 轉變為已確定函數，而f 3 函數為變函數，隨著鏟入深度的增加 S e 不斷減小，求解 S e 就變成了在變函數的條件下對函數圍成面積的求解。至此，便可以得出S e= S1－ ∫0α 1ytanπ2－ β( )－y － dtan α + β －π2( )????????dy，0 ≤ d ＜槡200 3;S e = ∫0α 2r 2－ x槡2+ y1－ xtan α + βπ2( )－ d[ ]dx，d ≥槡200 3;式中，α 1 為料堆外形函數與鏟鬥鬥形函數的交點在 y軸上的數值，mm;α 2 為料堆外形函數與鏟鬥鬥底函數的交點在 x 軸上的數值，mm;r 為鏟鬥鬥形曲率半徑，mm;y 1 為鏟鬥鬥形曲率圓心所處的位置，mm; S 1為鏟斗側面面積，mm 2 。通過工程問題數學化的轉變，在鏟裝過程中中心面的表示函數所圍成面積的變限積分 S t 、S e 就已經得出，S t 、S e 是為解決滿斗率問題所建立的初步的數學模型，也為接下來求解體積函數做好了前期準備。S t 、S e 函數的成功建立也是體積函數建立的必要前提，保證了函數的可解性。關於變限積分的面積函數的建立至此已經結束，接下來便是討論如何建立可行有效的體積函數。在考慮體積函數的問題時，需要再次轉換看待問題的角度，把平面問題實體化。根據對鏟斗和料堆的實際了解可以知道:如果以中心面為基準，鏟斗的物料體積函數 V e 便可以直接通過鏟斗面積與斗長的乘積得到，對於鏟斗的空斗面積也是類似的原理。至此體積函數 V e 便已經確定，但是體積函數 V t 還未確定。V t的相關量 S t 是一個較為複雜的變上下限積分，如果要求解 V t ，就要考慮到料堆的外形。已知的料堆外形可以近似地認為是圓錐體，V t 也可以看成是 S t 的旋轉體積，所以求解出 V t 函數的結果就是已知面積的旋轉體積的數值。通過對體積函數 V e 和 V t 的分析，可以得出 V e 和 V t 的函數V t =πarcsinl2r 1( )360°(dtanαr 1+ St )2－ (dtanαr 1 )2[ ] ，V e= lSe ，式中，l為鏟鬥鬥長，mm;r 1 為鏟斗可影響的最高點對應的圓錐料堆的頂部圓錐底面圓半徑，mm。已得出的 V e 、V t 體積函數之比便是對通用鏟裝物理過程的數學描述，得到數學模型後還需要就函數中某一相關因素對滿斗率的影響進行討論，驗證數學模型的正確性。本研究之後便是利用已建立的數學模型就鏟入深度與滿斗率之間的關係進行一次初步求解。
3 相關參數的選取
以廣西柳州工程機械股份有限公司的 Zl50 系列輪式裝載機的鏟斗數據為數學模型中的鏟斗參數依據，從而得出數學模型的求解結果。鏟斗底板尺寸 b x取 690 mm，鏟鬥鬥長 l 為 2 970 mm，鏟斗側面斗寬 b w取 1 200 mm，鏟斗前角 β 為 60°，鏟鬥鬥底曲率半逕取600 mm。料堆為礦石料堆，自然安息角 α 為35° ，鏟斗鏟入料堆的水平面上的料堆面的半逕取 4 000 mm。
4 鏟裝過程的數學模型求解
取定相關參數後，鏟裝數學模型中剩餘未知量為1 個自變量和 2 個因變量，自變量為鏟入深度 d，因變量為物料體積函數 V e 和 V t 。在建立鏟裝過程的數學模型後，試探性地對鏟斗鏟入深度與滿斗率之間的關係進行求解，主要是為了驗證鏟裝過程數學模型的有效性和對某一具體問題的可解性。因此，對於鏟裝數學模型的求解分為數學模型中的斗形函數驗證和鏟斗物料填充率的最優解的求解兩大部分。其中斗形函數的驗證為數學模型有效性的驗證，鏟斗物料填充率的最優解的求解為驗證數學模型的可解性。
4. 1 鏟斗數學模型的斗形函數驗證
根據已建立的鏟裝過程的數學模型可知，斗形函數為變限積分函數。為驗證建立的數學模型的有效性，需要利用 MATLAB 的函數可視化處理，對比數學模型中的變限積分函數與實際斗形是否基本符合。將相關參數輸入鏟裝過程的數學模型中的被積分函數，得出斗形如圖 3 所示。圖 3 斗形函數求解結果Fig．3 Ｒesults of solving bucket shape function
6 結 論本研究所建立的數學模型對工程實際有很強的適用性，可以利用該模型求解出各類參數的鏟斗在工作時的最佳鏟入深度，使得鏟斗的滿斗率達到最大值，提高資源的利用率。也可將鏟斗外形函數設為求解目標，利用鏟裝過程中滿斗率的數學模型優化鏟斗尺寸，如何利用鏟裝過程滿斗率的數學模型對鏟斗參數優化設計，也是筆者正在探求的一個問題。此外，如果料堆的安息角與重力加速度之間的數學關係能夠明確，鏟裝過程的數學模型可用於討論不同重力下的鏟裝機理。本研究所建立的鏟斗裝載過程的數學模型也可用於智能裝載機器人裝載過程的主動求解優化，在不同的情況下求解出最優的鏟入深度，提高工作效率，降低能耗。
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