如何「秒殺」選擇題和填空題
高考數學題，每年都有一些選擇題或者填空題可以被優秀考生「秒殺」，即通過使用靈活的技巧，快速準確地得到答案，從而節省寶貴的解題時間。事實上，高考既要考察考生的基礎知識和基本技能，也要考察考生靈活的思維素質，從而遴選不同思維品質的考生進入不同層次的高校學習。因此，命題時有意設置適當數量的這種題目，是完全正確的，這一點，高考命題專家有過專門論述。這種題，用傳統的「小題大做」方法當然也可以解決，但是要耗費考生大量的時間，而用秒殺技巧，則只要數妙即可。由於學生自讀初中以來，已經習慣於用按部就班的思路解題，習慣於「小題大做」，而不太適應高考的這一精神，因此，教師向學生介紹有關「秒殺」的技巧，也是必要的。
綜觀歷年高考題，「秒殺」的技巧大致有下列數種——
一、作圖秒殺。運用數形結合的數學思想，通過作圖幫助解決問題。
【例1】（2011陝西）方程
在
內（ ）
A、沒有根 B、有且僅有一個根
C、有且僅有兩個根 D、有無窮多個根
解析：如圖，知選C。
【例2】（2011北京）已知
函數
。若關於
的方程
有兩個不同的實數根，則的取值范
圍是 。
解析：作草圖，由圖知，
。
二、代值秒殺。就是以符合選項條件的具體數值代入分別題干，或者反過來，看哪個數值符合要求，從而確定選項的方法。因為僅僅涉及數值計算，大大節省精力與時間，所以是一種常用的方法。
【例3】（97年高考）不等式組
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：直接解肯定是錯誤的策略；四個選項左端的值都是0，只有右端的值不同，在這四個值中會是哪一個呢？它必定是方程
的根！，代入驗證：2不是，3不是，2.5也不是，所以選C。
【例4】不等式
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：如果直接解，相當於一道大題；取
代入原不等式，成立，排除B、C；取
，代入，不成立，排除D，選A；另外，由
時不等式顯然成立，而
時不等式顯然不成立，故選A。
三、直覺秒殺。直覺就是跳過過程直接覺察到問題的結果。
【例5】△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）
A、
B、
C、1 D、
解析：本題選自某一著名的數學期刊，作者提供了下列 「標準」解法：
設y=cosAcosBcosC，則2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，
∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，構造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，則cosC是一元二次方程的根，由cosC是實數知：△= cos2（A-B）-8y≥0，
即8y≤cos2（A-B）≤1，∴
≤
，故應選B。
這就是「經典」的小題大作！事實上，由於三個角A、B、C的地位完全平等，直覺告訴我們：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60°，即得答案B，這就是直覺法的威力，這也正是命題人的意圖所在。）
【例6】（97全國理科改編）函數
的最小正周期是 。
解析：意識到總有
，所以函數
的周期只與
有關，這裡
，所以直接填
即可，沒必要化時間去化簡運算。
四、整體秒殺。這是基於從宏觀上整體把握問題而產生的一中解題策略，是整體思想在解答小題方面的應用：不管細微末節，直奔目標。
【例7】、（07浙江文8）甲乙兩人進行桌球比賽，比賽規則為「3局2勝」，即以先贏2局者為勝，根據以往經驗，每局比賽中甲獲勝的機率為0.6，則本次比賽中甲獲勝的機率為（ ）
A、0.216
B、0.36 C、0.432 D、0.648
解析：先看「標準」解法——甲獲勝分兩種情況：①甲：乙=2：0，其機率為0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其機率為
，所以甲獲勝的機率為0.36+0.288=0.648，選D。
現在再用整體法來解：因為這種比賽沒有平局，2人獲勝的機率之和為1，而整體來看甲獲勝的機率比乙大，應該超過0.5，只有選D。）
【例8】、已知
都是正數，則
的最小值為 。
從學生答題情況來看，此題得分率很低，其根本原因是不會把
當作一個整體來看。令
，則運用基本不等式很快得解，答案為4。
五、定義秒殺。定義是知識的生長點，一切定理和公式都是由定義派生的，因此，抓住定義，就等於回到了知識的源頭，有利於高層次地快速解決問題。
【例9】、點P是以
為焦點的橢圓上的一點，過焦點
作
的外角平分線的垂線，垂足為
，則點
的軌跡是（ ）
A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線
解析：連接
，則
是△
的中位線，所以
定值，所以M的軌跡是圓，選A。
【例10】已知
，則
；已知函數
那麼
。
解析：根據反函數的定義，交換
的位置，即可得解。
六、特例秒殺。原理是：如果問題對一切情形都成立，則對特殊情形也成立。
【例11】（06北京理7）設
，則
（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：此題是等比數列求和，難在項數的確定。
令
，則
，對照選項，選D。
【例12】（1993年全國改編）在各項均為正數的等比數列
中，若
，則
。
解析：因答案確定，故取一個滿足條件的特殊數列
即可，填10。
七、模型秒殺。把問題放置在符合條件的幾何體或者某個情境中，使問題變得簡單明了。
【例13】兩條異面直線
的射影互相垂直，則下列關於
所成角的選項中正確的是（ ）
A、
必成直角 B、
必成鈍角 C、
必成銳角D、以上皆錯
解析：在正方體中，先取底面對角線作為
的射影，再在含有底面對角線的對角面中找異面直線
，即知A、B、C錯誤，選D。此題容易誤選A。
【例14】由三根細棒PA、PB、PC組成的支架，PA、PB、PC兩兩所成的角都為60°，一個半徑為1的小球放在支架上，則球心
O到點P的距離是
。
解析：這是近年高考模擬題中的一道把關題，許多考生被它折磨得煩躁不堪。實際上，在正方體
中，AD1、AC、AB1三條面對角線就是所指的支架，則小球內切於正方體中，因此所求球心O到點P的距離是正方體主對角線長的一半，填
。
這個解法是王博威同學發現的，他的這個解法震驚了在場的其它同學。
八、篩選秒殺。從條件出發，運用定理、性質、公式推演，根據「四選一
」的規則，逐步剔除干擾項，得出正確選項。
【例15】．已知
在[0，1]上是
的減函數，則
的取值範圍是（ ）
A、 B、 C、 D、[2，+∞
解：∵2－ax是在[0，1]上是減函數，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，這與x
[0，1]不符合，排除答案D，所以選B。
【例16】若
，則
（ ）
A、-1 B、1 C、0 D、
解析：考慮到係數取絕對值以後，其和會相當大，排除A、B、C，選D。
九、估值秒殺。有些問題，屬於比較大小或者確定位置的問題，我們只要對數值進行估算，或對位置進行估計，可避免因為精確計算或嚴格推演而浪費時間。
【例17】已知
是方程
的根，
是方程
的根，則
（
）
A、6 B、3 C、2 D、1
解析：此題可以數形結合來解，也可根據反函數的定義來解，但是都不如用估值法來得快捷：因為
是方程
的根，所以
＜
＜
；
是方程
的根，所以
＜
＜
所以
＜
＜
，選B。
【例18】（07海南、寧夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人測試成績如下表：
甲的成績
環數
7
8
9
10
頻數
5
5
5
5
乙的成績
環數
7
8
9
10
頻數
6
4
4
6
丙的成績
環數
7
8
9
10
頻數
4
6
6
4
分別表示三名運動員這次測試成績的標準差，則有（ ）
A、
＞
＞
B、
＞
＞
C、
＞
＞
D、
＞
＞
。
解析：固然可以用直接法算出答案來，有些「標準答案」正是這樣做的，但是顯然時間會花得多。你可以用估值法：他們的期望值相同，離開期望值比較近的數據越多，則標準差會越小！所以選B。這當然也可以看作是直覺法。
十、趨勢秒殺。把問題置於某一變化過程中，讓靜止的問題運動起來，根據運動變化的趨勢來判斷答案。
【例19】（06年全國卷Ⅰ，11）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：cm）的5根細木棍圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為多少？
A、8
cm2 B、6
cm2C、3
cm2D、20 cm2
解析：此三角形的周長是定值20，當其高或底趨向於零時其形狀趨向於一條直線，其面積趨向於零，可知，只有當三角形的形狀趨向於最「飽滿」時也就是形狀接近於正三角形時面積最大，故三邊長應該為7、7、6，因此易知最大面積為
cm2，選B。
【例20】（06遼寧文11）與方程
的曲線關於直線
對稱的曲線方程為（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：用趨勢判斷法：顯然已知曲線方程可以化為
，是個增函數。再令
那麼
那麼根據反函數的定義，在正確選項中當
時應該有
只有A符合。當然也可以用定義法解決，直接求出反函數與選項比較之。
結語：以上是高考中經常考察的方法，此外，還有逆向思考法，等價轉化法，極端情形法，現場操作法，經驗聯想法，等等。事實上，在實戰中要善於多法結合，組合出擊，則可以更加多地節省解題時間，也有利於提高學習興趣。
主要參考文獻：
1、《怎樣解題》第四次修訂版 薛金星主編 北京教育出版社
2、《怎樣解題》第三次修訂版 薛金星主編 北京教育出版社
3、《高考數學測量研究與實踐》修訂版 任子朝主編 教育部考試中心高等教育出版社
4、近年高考試卷。
高考數學題，每年都有一些選擇題或者填空題可以被優秀考生「秒殺」，即通過使用靈活的技巧，快速準確地得到答案，從而節省寶貴的解題時間。事實上，高考既要考察考生的基礎知識和基本技能，也要考察考生靈活的思維素質，從而遴選不同思維品質的考生進入不同層次的高校學習。因此，命題時有意設置適當數量的這種題目，是完全正確的，這一點，高考命題專家有過專門論述。這種題，用傳統的「小題大做」方法當然也可以解決，但是要耗費考生大量的時間，而用秒殺技巧，則只要數妙即可。由於學生自讀初中以來，已經習慣於用按部就班的思路解題，習慣於「小題大做」，而不太適應高考的這一精神，因此，教師向學生介紹有關「秒殺」的技巧，也是必要的。
綜觀歷年高考題，「秒殺」的技巧大致有下列數種——
一、作圖秒殺。運用數形結合的數學思想，通過作圖幫助解決問題。
【例1】（2011陝西）方程
在
內（ ）
A、沒有根 B、有且僅有一個根
C、有且僅有兩個根 D、有無窮多個根
解析：如圖，知選C。
【例2】（2011北京）已知
函數
。若關於
的方程
有兩個不同的實數根，則的取值范
圍是 。
解析：作草圖，由圖知，
。
二、代值秒殺。就是以符合選項條件的具體數值代入分別題干，或者反過來，看哪個數值符合要求，從而確定選項的方法。因為僅僅涉及數值計算，大大節省精力與時間，所以是一種常用的方法。
【例3】（97年高考）不等式組
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：直接解肯定是錯誤的策略；四個選項左端的值都是0，只有右端的值不同，在這四個值中會是哪一個呢？它必定是方程
的根！，代入驗證：2不是，3不是，2.5也不是，所以選C。
【例4】不等式
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：如果直接解，相當於一道大題；取
代入原不等式，成立，排除B、C；取
，代入，不成立，排除D，選A；另外，由
時不等式顯然成立，而
時不等式顯然不成立，故選A。
三、直覺秒殺。直覺就是跳過過程直接覺察到問題的結果。
【例5】△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）
A、
B、
C、1 D、
解析：本題選自某一著名的數學期刊，作者提供了下列 「標準」解法：
設y=cosAcosBcosC，則2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，
∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，構造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，則cosC是一元二次方程的根，由cosC是實數知：△= cos2（A-B）-8y≥0，
即8y≤cos2（A-B）≤1，∴
≤
，故應選B。
這就是「經典」的小題大作！事實上，由於三個角A、B、C的地位完全平等，直覺告訴我們：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60°，即得答案B，這就是直覺法的威力，這也正是命題人的意圖所在。）
【例6】（97全國理科改編）函數
的最小正周期是 。
解析：意識到總有
，所以函數
的周期只與
有關，這裡
，所以直接填
即可，沒必要化時間去化簡運算。
四、整體秒殺。這是基於從宏觀上整體把握問題而產生的一中解題策略，是整體思想在解答小題方面的應用：不管細微末節，直奔目標。
【例7】、（07浙江文8）甲乙兩人進行桌球比賽，比賽規則為「3局2勝」，即以先贏2局者為勝，根據以往經驗，每局比賽中甲獲勝的機率為0.6，則本次比賽中甲獲勝的機率為（ ）
A、0.216
B、0.36 C、0.432 D、0.648
解析：先看「標準」解法——甲獲勝分兩種情況：①甲：乙=2：0，其機率為0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其機率為
，所以甲獲勝的機率為0.36+0.288=0.648，選D。
現在再用整體法來解：因為這種比賽沒有平局，2人獲勝的機率之和為1，而整體來看甲獲勝的機率比乙大，應該超過0.5，只有選D。）
【例8】、已知
都是正數，則
的最小值為 。
從學生答題情況來看，此題得分率很低，其根本原因是不會把
當作一個整體來看。令
，則運用基本不等式很快得解，答案為4。
五、定義秒殺。定義是知識的生長點，一切定理和公式都是由定義派生的，因此，抓住定義，就等於回到了知識的源頭，有利於高層次地快速解決問題。
【例9】、點P是以
為焦點的橢圓上的一點，過焦點
作
的外角平分線的垂線，垂足為
，則點
的軌跡是（ ）
A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線
解析：連接
，則
是△
的中位線，所以
定值，所以M的軌跡是圓，選A。
【例10】已知
，則
；已知函數
那麼
。
解析：根據反函數的定義，交換
的位置，即可得解。
六、特例秒殺。原理是：如果問題對一切情形都成立，則對特殊情形也成立。
【例11】（06北京理7）設
，則
（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：此題是等比數列求和，難在項數的確定。
令
，則
，對照選項，選D。
【例12】（1993年全國改編）在各項均為正數的等比數列
中，若
，則
。
解析：因答案確定，故取一個滿足條件的特殊數列
即可，填10。
七、模型秒殺。把問題放置在符合條件的幾何體或者某個情境中，使問題變得簡單明了。
【例13】兩條異面直線
的射影互相垂直，則下列關於
所成角的選項中正確的是（ ）
A、
必成直角 B、
必成鈍角 C、
必成銳角D、以上皆錯
解析：在正方體中，先取底面對角線作為
的射影，再在含有底面對角線的對角面中找異面直線
，即知A、B、C錯誤，選D。此題容易誤選A。
【例14】由三根細棒PA、PB、PC組成的支架，PA、PB、PC兩兩所成的角都為60°，一個半徑為1的小球放在支架上，則球心
O到點P的距離是
。
解析：這是近年高考模擬題中的一道把關題，許多考生被它折磨得煩躁不堪。實際上，在正方體
中，AD1、AC、AB1三條面對角線就是所指的支架，則小球內切於正方體中，因此所求球心O到點P的距離是正方體主對角線長的一半，填
。
這個解法是王博威同學發現的，他的這個解法震驚了在場的其它同學。
八、篩選秒殺。從條件出發，運用定理、性質、公式推演，根據「四選一
」的規則，逐步剔除干擾項，得出正確選項。
【例15】．已知
在[0，1]上是
的減函數，則
的取值範圍是（ ）
A、 B、 C、 D、[2，+∞
解：∵2－ax是在[0，1]上是減函數，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，這與x
[0，1]不符合，排除答案D，所以選B。
【例16】若
，則
（ ）
A、-1 B、1 C、0 D、
解析：考慮到係數取絕對值以後，其和會相當大，排除A、B、C，選D。
九、估值秒殺。有些問題，屬於比較大小或者確定位置的問題，我們只要對數值進行估算，或對位置進行估計，可避免因為精確計算或嚴格推演而浪費時間。
【例17】已知
是方程
的根，
是方程
的根，則
（
）
A、6 B、3 C、2 D、1
解析：此題可以數形結合來解，也可根據反函數的定義來解，但是都不如用估值法來得快捷：因為
是方程
的根，所以
＜
＜
；
是方程
的根，所以
＜
＜
所以
＜
＜
，選B。
【例18】（07海南、寧夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人測試成績如下表：
甲的成績
環數
7
8
9
10
頻數
5
5
5
5
乙的成績
環數
7
8
9
10
頻數
6
4
4
6
丙的成績
環數
7
8
9
10
頻數
4
6
6
4
分別表示三名運動員這次測試成績的標準差，則有（ ）
A、
＞
＞
B、
＞
＞
C、
＞
＞
D、
＞
＞
。
解析：固然可以用直接法算出答案來，有些「標準答案」正是這樣做的，但是顯然時間會花得多。你可以用估值法：他們的期望值相同，離開期望值比較近的數據越多，則標準差會越小！所以選B。這當然也可以看作是直覺法。
十、趨勢秒殺。把問題置於某一變化過程中，讓靜止的問題運動起來，根據運動變化的趨勢來判斷答案。
【例19】（06年全國卷Ⅰ，11）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：cm）的5根細木棍圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為多少？
A、8
cm2 B、6
cm2C、3
cm2D、20 cm2
解析：此三角形的周長是定值20，當其高或底趨向於零時其形狀趨向於一條直線，其面積趨向於零，可知，只有當三角形的形狀趨向於最「飽滿」時也就是形狀接近於正三角形時面積最大，故三邊長應該為7、7、6，因此易知最大面積為
cm2，選B。
【例20】（06遼寧文11）與方程
的曲線關於直線
對稱的曲線方程為（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：用趨勢判斷法：顯然已知曲線方程可以化為
，是個增函數。再令
那麼
那麼根據反函數的定義，在正確選項中當
時應該有
只有A符合。當然也可以用定義法解決，直接求出反函數與選項比較之。
結語：以上是高考中經常考察的方法，此外，還有逆向思考法，等價轉化法，極端情形法，現場操作法，經驗聯想法，等等。事實上，在實戰中要善於多法結合，組合出擊，則可以更加多地節省解題時間，也有利於提高學習興趣。
主要參考文獻：
1、《怎樣解題》第四次修訂版 薛金星主編 北京教育出版社
2、《怎樣解題》第三次修訂版 薛金星主編 北京教育出版社
3、《高考數學測量研究與實踐》修訂版 任子朝主編 教育部考試中心高等教育出版社
4、近年高考試卷。
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