幾何最大值綜述
幾何中的最值問題一直是中考考察的熱點和難點問題。最值主要分最大值問題和最小值問題兩種。今天我們主要討論幾何中的最大值問題。目的就是為了尋找幾何最大值的數學模型和理論依據，提升我們解決問題的能力。
例題1
已知邊長為2 的正三角形ABC，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，則OC的長的最大值是____．
分析:
1.如何求線段OC的最大值？
2.解決OC最大值的數學模型是什麼？
3.OC最大值的理論依據是什麼？
4.數學模型為：在圖形中找到第三個點D,使得CD=定值，OD=定值。則OC的最大值即為CD+OD
5.理論依據是:①當點O,C,D三點不共線時，由三角形三邊關係可知OC<CD+OD.②當點O,C,D三點共線時OC=CD+OD.綜上所述：OC≤DC+OD
答案為：√+1
請仔細觀察動態圖中OC在何時取到最大值，幫助自己理解上述理論敘述。
例題2
如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為_____
分析：
1.如何求線段OD的最大值？
2.解決OD最大值的數學模型是什麼？
3.OD最大值的理論依據是什麼？
4.數學模型為：在圖形中找到第三個點E,使得ED=定值，OE=定值。則OD的最大值即為ED+OE
5.理論依據是:①當點O,E,D三點不共線時，由三角形三邊關係可知OD<ED+OE.②當點O,E,D三點共線時OD=ED+OE.綜上所述：OD≤DE+OE
答案為：√+1
請仔細觀察動態圖中OC在何時取到最大值
例題3
如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將直角邊AC繞A點逆時針旋轉至AC′，連接BC′，E為BC′的中點，連接CE，則CE的最大值為______
分析：
1.第三個點選擇誰？ 2.選擇AB的中點D.
3.CE的最大值為CF+EF=√+1
請仔細觀察動態圖中OC在何時取到最大值
例題4（2016河南中考壓軸題）
（1）發現：
如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．填空：當點A位於 時，線段AC的長取得最大值，且最大值為 （用含a，b的式子表示）
分析：
1.結論很簡單，也很容易理解，但是思維不要局限在表面，要進行深度思維。
2.當點A位於CB的延長線上時，AC取得最大值a+b.
3.當點A在線段CB上時，AC取得最小值|a-b|.
4.綜上所述:|a-b|≤AC≤a+b
5.最大值數學模型：在一個三角形中，兩條邊為定值，則第三邊的最大值就是兩邊之和，最小值就是兩邊只差。（簡稱三角不等式最值模型）
6.理論依據：三角形三邊關係不等式。
7.深度思維：點B為定點,點A為動點，BA長為定值=b,使用動態思維：動點A在以點B為圓心，以BA=b為半徑的圓周上運動，動態圖如下：
使用這種輔助圓來理解和解決最值問題是相當好的一種思維習慣和解題方法。請同學務必掌握。
（2）應用：
點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請找出圖中與BE相等的線段，並說明理由；
②直接寫出線段BE長的最大值．
分析：
1.典型的拉手模型，△DAC≌△BAE.則BE=CD.
2.如何求解線段BE的最大值？是否有三角不等式最值模型存在？
3.請觀察右下圖，△ABE和△BCE都不滿足最大值模型中的兩定邊為定值的要求。如何才能構造出滿足條件的最大值模型呢？
4.觀察左下圖以AB為邊向外構造等邊△ABD,得到拉手模型，則BE=CD.在△DBC中滿足最大值模型，故CD最大值為：1+3=4
（3）拓展：
如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．
分析:
2.如何求解線段AM的最大值？是否有三角不等式最值模型存在？
3.請觀察下圖，△APM和△ABM都不滿足最大值模型中的兩定邊為定值的要求。如何才能構造出滿足條件的最大值模型呢？
4.觀察右下圖:
連接MB，得到等腰直角△PMB.
以AP為邊向外構造等腰直角△APM",得到等腰直角三角形構造拉手模型，則AM=M"B. 在△ABM"中滿足最大值模型，當點M"在BA的延長線上時，AM=BM"最大值為：2√+3，（如圖4）
（5）△PAM"是等腰直角三角形，AM"=2√,AB=3. 則在AM取到最大值時，點P橫坐標為：2-√，縱坐標為:√.
為了更加直觀了解AM的長度變化情況，請看動態圖：
考點小結：
1.以被求線段為邊找第三個點，構造最大值模型（兩定邊）
2.如果找不到第三個點，則考慮旋轉法或者直接構造拉手模型的方法來構建最大值模型。
3.注意使用動態的思維方式。
來源： 奶爸許老師數學（ID：xuguanghong76）
幾何中的最值問題一直是中考考察的熱點和難點問題。最值主要分最大值問題和最小值問題兩種。今天我們主要討論幾何中的最大值問題。目的就是為了尋找幾何最大值的數學模型和理論依據，提升我們解決問題的能力。
例題1
已知邊長為2 的正三角形ABC，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，則OC的長的最大值是____．
分析:
1.如何求線段OC的最大值？
2.解決OC最大值的數學模型是什麼？
3.OC最大值的理論依據是什麼？
4.數學模型為：在圖形中找到第三個點D,使得CD=定值，OD=定值。則OC的最大值即為CD+OD
5.理論依據是:①當點O,C,D三點不共線時，由三角形三邊關係可知OC<CD+OD.②當點O,C,D三點共線時OC=CD+OD.綜上所述：OC≤DC+OD
答案為：√+1
請仔細觀察動態圖中OC在何時取到最大值，幫助自己理解上述理論敘述。
例題2
如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為_____
分析：
1.如何求線段OD的最大值？
2.解決OD最大值的數學模型是什麼？
3.OD最大值的理論依據是什麼？
4.數學模型為：在圖形中找到第三個點E,使得ED=定值，OE=定值。則OD的最大值即為ED+OE
5.理論依據是:①當點O,E,D三點不共線時，由三角形三邊關係可知OD<ED+OE.②當點O,E,D三點共線時OD=ED+OE.綜上所述：OD≤DE+OE
答案為：√+1
請仔細觀察動態圖中OC在何時取到最大值
例題3
如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將直角邊AC繞A點逆時針旋轉至AC′，連接BC′，E為BC′的中點，連接CE，則CE的最大值為______
分析：
1.第三個點選擇誰？ 2.選擇AB的中點D.
3.CE的最大值為CF+EF=√+1
請仔細觀察動態圖中OC在何時取到最大值
例題4（2016河南中考壓軸題）
（1）發現：
如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．填空：當點A位於 時，線段AC的長取得最大值，且最大值為 （用含a，b的式子表示）
分析：
1.結論很簡單，也很容易理解，但是思維不要局限在表面，要進行深度思維。
2.當點A位於CB的延長線上時，AC取得最大值a+b.
3.當點A在線段CB上時，AC取得最小值|a-b|.
4.綜上所述:|a-b|≤AC≤a+b
5.最大值數學模型：在一個三角形中，兩條邊為定值，則第三邊的最大值就是兩邊之和，最小值就是兩邊只差。（簡稱三角不等式最值模型）
6.理論依據：三角形三邊關係不等式。
7.深度思維：點B為定點,點A為動點，BA長為定值=b,使用動態思維：動點A在以點B為圓心，以BA=b為半徑的圓周上運動，動態圖如下：
使用這種輔助圓來理解和解決最值問題是相當好的一種思維習慣和解題方法。請同學務必掌握。
（2）應用：
點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請找出圖中與BE相等的線段，並說明理由；
②直接寫出線段BE長的最大值．
分析：
1.典型的拉手模型，△DAC≌△BAE.則BE=CD.
2.如何求解線段BE的最大值？是否有三角不等式最值模型存在？
3.請觀察右下圖，△ABE和△BCE都不滿足最大值模型中的兩定邊為定值的要求。如何才能構造出滿足條件的最大值模型呢？
4.觀察左下圖以AB為邊向外構造等邊△ABD,得到拉手模型，則BE=CD.在△DBC中滿足最大值模型，故CD最大值為：1+3=4
（3）拓展：
如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．
分析:
2.如何求解線段AM的最大值？是否有三角不等式最值模型存在？
3.請觀察下圖，△APM和△ABM都不滿足最大值模型中的兩定邊為定值的要求。如何才能構造出滿足條件的最大值模型呢？
4.觀察右下圖:
連接MB，得到等腰直角△PMB.
以AP為邊向外構造等腰直角△APM",得到等腰直角三角形構造拉手模型，則AM=M"B. 在△ABM"中滿足最大值模型，當點M"在BA的延長線上時，AM=BM"最大值為：2√+3，（如圖4）
（5）△PAM"是等腰直角三角形，AM"=2√,AB=3. 則在AM取到最大值時，點P橫坐標為：2-√，縱坐標為:√.
為了更加直觀了解AM的長度變化情況，請看動態圖：
考點小結：
1.以被求線段為邊找第三個點，構造最大值模型（兩定邊）
2.如果找不到第三個點，則考慮旋轉法或者直接構造拉手模型的方法來構建最大值模型。
3.注意使用動態的思維方式。
來源： 奶爸許老師數學（ID：xuguanghong76）
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