一、教學環節
對幾何定理的教學，我們在集中講授時分5個環節。第1、2環節是理解定理的基本要求；第3環節是基本推理模式，第4環節是定理在推理過程中的呈現方式，提出了「模式＋定理」的書寫方法；第5環節是定理在解題分析時的導向作用，提出了「圖形＋定理」的思考方法。程序圖設計如下：
基本要求→重新建立表象→推理模式→組合定理→聯想定理
二、操作分析和說明
⒈定理的基本要求
我們認為，能正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我們採取了「一划二畫三寫」的步驟，讓學生儘快熟悉每一個定理的基本要求，並重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關的定理），集中展示給學生。
例如定理43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
一划：就是找出定理的題設和結論，題設用直線，結論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質部分。
如：「直角三角形」和「高線」、「相似」。
二畫：就是依據定理的內容，能畫出所對應的基本圖形。
如：
三寫：就是在分清題設和結論的基礎上，能用符號語言表達，允許採用等同條件。
如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB於D（條件也可寫成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。
學生在書寫時果然出現了一些問題：
①不理解每個定理的條件和結論。學生在書寫時往往漏掉條件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等）；對條件太簡單的不會寫（如定理3）；或者把條件當成結論（如定理12把三線都當成結論）。
②還表現在思維偏差。我們的要求是會用定理，而有些學生把定理重新證明一遍（如定理5、6）；或者在一個定理中出現∵××，又∵××，∴××的錯誤。
③更多的是沒有抓住本質。具體表現在把非本質的條件當成本質條件（如定理7出現∵∠1和∠2是同位角，∴AB∥CD）；條件重複（如定理49，結論∠APO＝∠BPO已經包括過圓心O，學生在條件中還加以說明）；圖形過於特殊（如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形）；文字過多（一些定理譯不出符號語言，用文字代替）等。
⒉重新建立表象
從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數學教師傳授知識的重要原則。「表象」就是人們對過去感知過的客觀世界中的對象或對象在頭腦中留下來的可以再現出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由於幾何的每一個定理都對應著一個圖形，這給我們在教學中提供了一定的便利。我們要求學生對定理的表象不能只停留在實體的形象上，而是讓學生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認為，這對於理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。
教給學生想形象的基本方法後，我們接下去的步驟是用實例引導學生，下面是一段經整理後的課堂教學主要內容：
⑴問：聽了老師的介紹後，你怎樣回憶垂徑定理的形象？
答：垂徑定理我在想的時候，腦子裡留下「兩條等弧、兩條相等的線段、一個直角」在一閃一閃的，以後看到弧相等或其他兩個條件之一，腦子裡就會浮現出垂徑定理。
目的：建立單個定理的表象，要求能想到非標準圖形。
繼續問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來嗎？
答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……
甚至有學生想到了兩條平行弦……
目的：通過表象，進行聯想，使學生理解定理間的聯繫。
⑵問：從定理21開始，你能找出和它有聯繫的定理嗎？
答：有定理22（擦短使平行直線變成線段），定理25（特殊化成菱形），定理27……
目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉等變化，加深定理間的聯繫。
⑶下面的步驟，我們讓學生自主思考。學生在不斷嘗試的過程中，通過比較、分析、判斷，進一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯繫和區別。從學生思考的角度看，他們主要是在尋找基本圖形，由於定理之間有一定的聯繫，在一個基本圖形中往往存在著另一個殘缺的基本圖形，所以學生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉等手段，也有通過特殊化、找同結論等途徑把不同的定理聯繫起來。
下面摘錄的是學生自主思考後，得到的富有創意性的結論。
①定理16（延長中線成矩形）→定理24（作矩形的外接圓）→定理34。
②定理51（一線過圓心，且兩線垂直）→定理36（一線平移成切線）→定理47、48（繞切點旋轉）→定理50。
③如下圖，把EF向下平移（或繞A點旋轉），使定理37和50聯繫起來（有同結論∠α＝∠D）：
⒊推理模式
從學生各方面的反饋情況看，多數學生覺得幾何抽象還在於幾何推理形式多樣、過程複雜而又摸不定，往往聽課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的基礎上，經過歸納整理，總結了三種基本推理模式。
具體教學分三個步驟實施：
⑴精心設計三個簡單的例題，讓學生歸納出三種基本推理模式。
①條件→結論→新結論（結論推新結論式）
②新結論（多個結論推新結論式）
③新結論（結論和條件推新結論式）
⑵通過已詳細書寫證明過程的題目讓學生識別不同的推理模式。
⑶通過具體習題，學生有意識、有預見性地練習書寫。
這一環節我們的目的是讓學生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時有一定的模式，有效地克服了學生書寫的盲目性。但教學表明學生仍然出現不必要的跳步，這是什麼原因呢？我們把它歸結為對推理的因果關係不明確、定理是推理的依據和單位不明白。因而我們根據需要，又設計了以下一個環節。
⒋組合定理
基本推理模式中的骨幹部分還是定理的符號語言。因而在這一環節，我們讓學生在證明的過程中找出單個定理的因果關係、多個定理的組合方式，然後由幾個定理組合後構造圖形，進一步強化學生「用定理」的意識。
下面通過一例來說明這一步驟的實施。
例1：已知如圖，四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5，對角線AC與BD相交於E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求△BAD的面積。（2001年嘉興市質量評估卷六）
證明：連結OB，連結OA交BD於F。
學生從每一個推測符號中找出所對應的定理和隱含的主要定理：
比例基本性質→S/AS/證相似→相似三角形性質→垂徑定理→勾股定理→三角形面積公式
由於學生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實是由一個一個定理連結起來的，也讓學生體會到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴密的推理過程。此時，可順勢布置以下的任務：給出勾股定理，你能再結合一個或多個定理，構造圖形，並編出證明題或計算題嗎？
實踐表明：經過「模式＋定理」書寫方法的薰陶後，學生基本具備了完整書寫的意識。
⒌聯想定理
分析圖形是證明的基礎，幾何問題給出的圖形有時是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構造出定理的基本圖形，為運用定理解決問題創造條件。圖形固然可以引發聯想（這也是教師分析幾何證明題、學生證題的基本方法之一），但對於識圖或想像力較差的學生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在複雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側面，即證明題的「已知、求證」上給學生以支招，即由命題的題設、結論聯想某些定理，以配合圖形想像。
例：如圖，⊙O1和⊙O2相交於B、C兩點，AB是⊙O1的直徑，AB、AC的延長線分別交⊙O2於D、E，過B作⊙O1的切線交AE於F。求證：BF∥DE。
討論此題時，啟發學生由題設中的「AB是⊙O的直徑」聯想定理「直徑所對的圓周角是90°」，因而連結BC；「過B作⊙O的切線交AE於F」聯想定理「切線的性質」，得出∠ABF＝90°。從而構造出基本圖形②③。
由命題的結論「BF∥DE」聯想起「同位角相等，兩直線平行」定理，構造出基本圖形④。將上述基本圖形②③④的性質結合在一起，學生就易於思考了。
這一環節我們的引導語有：「由已知中的哪一個條件，你能聯想起什麼定理？」、「條件組合後能構成哪個定理？」、「有無對應的基本圖形？」、「能否構造出基本圖形？」等。目的是讓學生樹立起「圖形＋定理」的思考方法，把以前的無意識思考變成有目的、有意識的思考。
三、幾點認識
複習的效果最終要體現在學生身上，只有通過學生的自身實踐和領悟才是最佳複習途徑，因此在複習時，我們始終堅持主體性原則。在組織複習的各個環節中，充分調動學生學習的主動性和積極性：提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，方法和規律讓學生體會，創造性的解答共同完善。
「沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平」（弗賴登塔爾）。我們認為傳授方法或解答後讓學生進行反思、領悟是很好的方法，所以我們在教學時總留出足夠的時間來讓學生進行反思，使學生儘快形成一種解題思路、書寫方法。
集中講授能使學生對幾何定理的應用有一定的認識，但如果不加以鞏固，也會造成遺忘。因而我們也堅持了滲透性原則，在平時的解題分析中時常有意識地引導、反覆滲透。
摘要：教師在教學時經常需要面對不同的學生，如何根據不同的情況採取相應的措施顯得非常必要。一些學生到了初三仍對幾何證明題書寫感到困難，思考時沒有明確的目的。本文針對這些情況，充分重視了「定理教學」，採取了先集中講授再平時滲透的方法，提出了從定理的基本要求出發，通過建立表象、組合定理、聯想定理等教學對策，從而使學生具備「用定理」的意識。
關鍵詞：建立表象、組合定理、聯想定理
參考資料：
①高三數學第二輪複習的理論和實踐孟祥東等《中學數學教與學》2001、3
②全國初中數學教育第十屆年會論文集P380、P470
附錄：初中數學幾何定理集錦（摘錄）
1。同角（或等角）的餘角相等。
3。對頂角相等。
5。三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和。
6。在同一平面內垂直於同一條直線的兩條直線是平行線。
7。同位角相等，兩直線平行。
12。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。
16。直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。
19。在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。及其逆定理。
21。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。
22。一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
24。有三個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。
25。菱形性質：四條邊相等、對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角。
27。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。
34。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對相等，那麼它們所對應的其餘各對量都相等。
36。垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的弧。
43。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
46。相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比。相似三角形面積的比等於相似比的平方。
37．圓內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角等於它的內對角。
47。切線的判定定理經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
48。切線的性質定理①經過圓心垂直於切線的直線必經過切點。②圓的切線垂直於經過切點的半徑。③經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。
49。切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。連結圓外一點和圓心的直線，平分從這點向圓所作的兩條切線所夾的角。
50。弦切角定理弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的一半。弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角。
51。相交弦定理；切割線定理；割線定理
對幾何定理的教學，我們在集中講授時分5個環節。第1、2環節是理解定理的基本要求；第3環節是基本推理模式，第4環節是定理在推理過程中的呈現方式，提出了「模式＋定理」的書寫方法；第5環節是定理在解題分析時的導向作用，提出了「圖形＋定理」的思考方法。程序圖設計如下：
基本要求→重新建立表象→推理模式→組合定理→聯想定理
二、操作分析和說明
⒈定理的基本要求
我們認為，能正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我們採取了「一划二畫三寫」的步驟，讓學生儘快熟悉每一個定理的基本要求，並重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關的定理），集中展示給學生。
例如定理43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
一划：就是找出定理的題設和結論，題設用直線，結論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質部分。
如：「直角三角形」和「高線」、「相似」。
二畫：就是依據定理的內容，能畫出所對應的基本圖形。
如：
三寫：就是在分清題設和結論的基礎上，能用符號語言表達，允許採用等同條件。
如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB於D（條件也可寫成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。
學生在書寫時果然出現了一些問題：
①不理解每個定理的條件和結論。學生在書寫時往往漏掉條件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等）；對條件太簡單的不會寫（如定理3）；或者把條件當成結論（如定理12把三線都當成結論）。
②還表現在思維偏差。我們的要求是會用定理，而有些學生把定理重新證明一遍（如定理5、6）；或者在一個定理中出現∵××，又∵××，∴××的錯誤。
③更多的是沒有抓住本質。具體表現在把非本質的條件當成本質條件（如定理7出現∵∠1和∠2是同位角，∴AB∥CD）；條件重複（如定理49，結論∠APO＝∠BPO已經包括過圓心O，學生在條件中還加以說明）；圖形過於特殊（如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形）；文字過多（一些定理譯不出符號語言，用文字代替）等。
⒉重新建立表象
從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數學教師傳授知識的重要原則。「表象」就是人們對過去感知過的客觀世界中的對象或對象在頭腦中留下來的可以再現出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由於幾何的每一個定理都對應著一個圖形，這給我們在教學中提供了一定的便利。我們要求學生對定理的表象不能只停留在實體的形象上，而是讓學生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認為，這對於理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。
教給學生想形象的基本方法後，我們接下去的步驟是用實例引導學生，下面是一段經整理後的課堂教學主要內容：
⑴問：聽了老師的介紹後，你怎樣回憶垂徑定理的形象？
答：垂徑定理我在想的時候，腦子裡留下「兩條等弧、兩條相等的線段、一個直角」在一閃一閃的，以後看到弧相等或其他兩個條件之一，腦子裡就會浮現出垂徑定理。
目的：建立單個定理的表象，要求能想到非標準圖形。
繼續問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來嗎？
答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……
甚至有學生想到了兩條平行弦……
目的：通過表象，進行聯想，使學生理解定理間的聯繫。
⑵問：從定理21開始，你能找出和它有聯繫的定理嗎？
答：有定理22（擦短使平行直線變成線段），定理25（特殊化成菱形），定理27……
目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉等變化，加深定理間的聯繫。
⑶下面的步驟，我們讓學生自主思考。學生在不斷嘗試的過程中，通過比較、分析、判斷，進一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯繫和區別。從學生思考的角度看，他們主要是在尋找基本圖形，由於定理之間有一定的聯繫，在一個基本圖形中往往存在著另一個殘缺的基本圖形，所以學生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉等手段，也有通過特殊化、找同結論等途徑把不同的定理聯繫起來。
下面摘錄的是學生自主思考後，得到的富有創意性的結論。
①定理16（延長中線成矩形）→定理24（作矩形的外接圓）→定理34。
②定理51（一線過圓心，且兩線垂直）→定理36（一線平移成切線）→定理47、48（繞切點旋轉）→定理50。
③如下圖，把EF向下平移（或繞A點旋轉），使定理37和50聯繫起來（有同結論∠α＝∠D）：
⒊推理模式
從學生各方面的反饋情況看，多數學生覺得幾何抽象還在於幾何推理形式多樣、過程複雜而又摸不定，往往聽課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的基礎上，經過歸納整理，總結了三種基本推理模式。
具體教學分三個步驟實施：
⑴精心設計三個簡單的例題，讓學生歸納出三種基本推理模式。
①條件→結論→新結論（結論推新結論式）
②新結論（多個結論推新結論式）
③新結論（結論和條件推新結論式）
⑵通過已詳細書寫證明過程的題目讓學生識別不同的推理模式。
⑶通過具體習題，學生有意識、有預見性地練習書寫。
這一環節我們的目的是讓學生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時有一定的模式，有效地克服了學生書寫的盲目性。但教學表明學生仍然出現不必要的跳步，這是什麼原因呢？我們把它歸結為對推理的因果關係不明確、定理是推理的依據和單位不明白。因而我們根據需要，又設計了以下一個環節。
⒋組合定理
基本推理模式中的骨幹部分還是定理的符號語言。因而在這一環節，我們讓學生在證明的過程中找出單個定理的因果關係、多個定理的組合方式，然後由幾個定理組合後構造圖形，進一步強化學生「用定理」的意識。
下面通過一例來說明這一步驟的實施。
例1：已知如圖，四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5，對角線AC與BD相交於E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求△BAD的面積。（2001年嘉興市質量評估卷六）
證明：連結OB，連結OA交BD於F。
學生從每一個推測符號中找出所對應的定理和隱含的主要定理：
比例基本性質→S/AS/證相似→相似三角形性質→垂徑定理→勾股定理→三角形面積公式
由於學生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實是由一個一個定理連結起來的，也讓學生體會到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴密的推理過程。此時，可順勢布置以下的任務：給出勾股定理，你能再結合一個或多個定理，構造圖形，並編出證明題或計算題嗎？
實踐表明：經過「模式＋定理」書寫方法的薰陶後，學生基本具備了完整書寫的意識。
⒌聯想定理
分析圖形是證明的基礎，幾何問題給出的圖形有時是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構造出定理的基本圖形，為運用定理解決問題創造條件。圖形固然可以引發聯想（這也是教師分析幾何證明題、學生證題的基本方法之一），但對於識圖或想像力較差的學生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在複雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側面，即證明題的「已知、求證」上給學生以支招，即由命題的題設、結論聯想某些定理，以配合圖形想像。
例：如圖，⊙O1和⊙O2相交於B、C兩點，AB是⊙O1的直徑，AB、AC的延長線分別交⊙O2於D、E，過B作⊙O1的切線交AE於F。求證：BF∥DE。
討論此題時，啟發學生由題設中的「AB是⊙O的直徑」聯想定理「直徑所對的圓周角是90°」，因而連結BC；「過B作⊙O的切線交AE於F」聯想定理「切線的性質」，得出∠ABF＝90°。從而構造出基本圖形②③。
由命題的結論「BF∥DE」聯想起「同位角相等，兩直線平行」定理，構造出基本圖形④。將上述基本圖形②③④的性質結合在一起，學生就易於思考了。
這一環節我們的引導語有：「由已知中的哪一個條件，你能聯想起什麼定理？」、「條件組合後能構成哪個定理？」、「有無對應的基本圖形？」、「能否構造出基本圖形？」等。目的是讓學生樹立起「圖形＋定理」的思考方法，把以前的無意識思考變成有目的、有意識的思考。
三、幾點認識
複習的效果最終要體現在學生身上，只有通過學生的自身實踐和領悟才是最佳複習途徑，因此在複習時，我們始終堅持主體性原則。在組織複習的各個環節中，充分調動學生學習的主動性和積極性：提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，方法和規律讓學生體會，創造性的解答共同完善。
「沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平」（弗賴登塔爾）。我們認為傳授方法或解答後讓學生進行反思、領悟是很好的方法，所以我們在教學時總留出足夠的時間來讓學生進行反思，使學生儘快形成一種解題思路、書寫方法。
集中講授能使學生對幾何定理的應用有一定的認識，但如果不加以鞏固，也會造成遺忘。因而我們也堅持了滲透性原則，在平時的解題分析中時常有意識地引導、反覆滲透。
摘要：教師在教學時經常需要面對不同的學生，如何根據不同的情況採取相應的措施顯得非常必要。一些學生到了初三仍對幾何證明題書寫感到困難，思考時沒有明確的目的。本文針對這些情況，充分重視了「定理教學」，採取了先集中講授再平時滲透的方法，提出了從定理的基本要求出發，通過建立表象、組合定理、聯想定理等教學對策，從而使學生具備「用定理」的意識。
關鍵詞：建立表象、組合定理、聯想定理
參考資料：
①高三數學第二輪複習的理論和實踐孟祥東等《中學數學教與學》2001、3
②全國初中數學教育第十屆年會論文集P380、P470
附錄：初中數學幾何定理集錦（摘錄）
1。同角（或等角）的餘角相等。
3。對頂角相等。
5。三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和。
6。在同一平面內垂直於同一條直線的兩條直線是平行線。
7。同位角相等，兩直線平行。
12。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。
16。直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。
19。在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。及其逆定理。
21。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。
22。一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
24。有三個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。
25。菱形性質：四條邊相等、對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角。
27。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。
34。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對相等，那麼它們所對應的其餘各對量都相等。
36。垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的弧。
43。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
46。相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比。相似三角形面積的比等於相似比的平方。
37．圓內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角等於它的內對角。
47。切線的判定定理經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
48。切線的性質定理①經過圓心垂直於切線的直線必經過切點。②圓的切線垂直於經過切點的半徑。③經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。
49。切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。連結圓外一點和圓心的直線，平分從這點向圓所作的兩條切線所夾的角。
50。弦切角定理弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的一半。弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角。
51。相交弦定理；切割線定理；割線定理
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