劉章軍 劉增輝
摘要：基於正交隨機變量的譜表示，引入隨機函數的約束條件，提出了隨機脈動風場模擬的譜表示降維方法。從譜表示模擬公式中所需隨機變量的數量及約束條件兩方面，釐清了經典譜表示與基於正交隨機變量譜表示的區別。將正交隨機變量集表達為兩個基本隨機變量的正交函數形式，使基於正交隨機變量譜表示的隨機度從數萬降低為2，極大地減少了隨機脈動風場模擬的計算量。通過構造兩類不同的正交隨機函數形式，分別對高層建築沿高度變化的水平向脈動風場進行模擬，均能獲得較高的模擬精度，檢驗了此方法的有效性。研究表明：此方法僅需2個基本隨機變量即可在密度層次上反映脈動風場的機率特性，且生成的233條代表性時程構成一個完備的機率集，進而可結合機率密度演化理論進行工程結構抗風可靠度精細化分析。
關鍵詞：脈動風場；隨機振動；譜表示；隨機函數；降維模擬
中圖分類號：TU312+1；0324 文獻標誌碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0049-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.006
引言
在結構風工程中，作用於結構的脈動風荷載具有顯著的動力特性和時空分布特性，通常採用時一空隨機場來描述。隨機脈動風場的模擬是工程結構抗風設計的首要任務，譜表示法因理論完善、算法簡單、計算精度高而被廣泛用於隨機風場的模擬。
譜表示法最早可追溯到1944年Rice對一維單變量隨機噪聲的數學分析。1971年，Shinozuka正式提出譜表示法的概念，並模擬了多維單變量時一空隨機場，在具體實施中，將時一空隨機場離散為一維多變量平穩向量過程。譜表示法在模擬一維多變量向量過程時，其核心思想是通過功率譜密度矩陣的cholesky分解，將一維多變量向量過程轉化為多個不相干的一維單變量隨機過程，並由一系列隨機相位角調製的諧波疊加來加以模擬。由於存在大量的cholesky分解和諧波疊加導致譜表示法計算效率低，Yang於1972年引入FFT算法，極大地提高了諧波疊加的效率。shinozuka等（1991，1996）分別對譜表示法模擬一維單變量過程和多維單變量隨機場的原理作了深入闡述，並對模擬結果的高斯性、無偏性及各態歷經性進行了分析。為保證模擬結果的各態歷經性，Deodatis（1996）引入雙索引頻率的概念，並結合FFT算法提高諧波疊加的效率，這一改進使得譜表示法成為一維多變量向量過程模擬的經典方法。另一方面，為提高cholesky分解的效率，cao等（2000）和Huang等（2013）分別建議了一類功率譜密度矩陣chol-esky分解的顯示表達；羅俊傑等（2008）和吳勇信等（2013）利用插值技術也在一定程度上減少了功率譜密度矩陣cholesky分解的計算量。事實上，經典的譜表示法在本質上屬於Monte carlo模擬方法，雖然從理論上看，Monte Carlo方法的效率和基本隨機變量的維數無關，然而，幾乎所有的偽隨機數生成方法都難以處理維數很高的基本隨機變量間題，因此，為保證模擬的精度，往往需要進行大量的隨機抽樣。數量巨大的樣本不僅增加了隨機模擬的計算量，也極大地增加了結構隨機動力響應計算的工作量。
近年來，為克服隨機過程譜表示法計算量大的問題，陳建兵和李傑提出了隨機諧和函數表達方法，並對譜表示法的頻率選點進行了優化；李傑等從物理建模的角度出發，建立了脈動風速場的物理隨機函數模型，用若干基本隨機變量表達脈動風速場。同時，筆者從數學建模的角度，通過引入隨機函數的約束條件，初步建立了工程隨機動力作用的機率模型，實現了僅用1～2個基本隨機變量即可模擬一維單變量隨機過程的目的，極大地降低了隨機過程模擬的隨機度，並結合機率密度演化理論，對工程結構的抗震可靠度作了定量分析。在此基礎上，本文進一步將隨機函數思想拓展到隨機風場的模擬，實現對隨機脈動風場模擬的譜表示降維處理，從而為結構風荷載提供一種更為高效的模擬方法。
1基於正交隨機變量的譜表示
與經典的譜表示法相比，儘管基於正交隨機變量的譜表示在描述時一空隨機場時所需隨機變量的數量更多（比經典譜表示法多1倍），計算量更大；但從隨機變量的約束條件來看，基於正交隨機變量的譜表示中隨機變量的約束條件（式（12））要弱於經典的譜表示法。事實上，式（12）僅要求隨機變量滿足正交性條件，而對其機率分布未作要求；在經典譜劉章軍，等：隨機脈動風場的譜表示降維模擬表示法中，隨機相位角必須滿足區間（0，2π]上的均勻分布。為此，可對正交隨機變量集施加適當的約束條件（隨機函數），以實現平穩向量過程模擬的譜表示降維，進而有效減少模擬次數。
2正交隨機變量集的降維表達
3脈動風場數值模擬
利用數論方法選取基本隨機變量的代表性點集時，基本隨機變量的每一個代表性點都具有確定的賦得機率，且所選的代表性點集構成一個完備的機率集，因而本文方法生成的脈動風速代表性時程能夠包含脈動風場的完備機率信息。根據機率密度演化理論，對於保守的隨機系統，其隨機性來源於系統參數的隨機性和外部激勵的隨機性，本文方法不僅可以精細地描述隨機系統外部激勵的隨機性，也可以同時描述系統參數的隨機性，因而可結合機率密度演化理論進行結構隨機風振響應及抗風可靠度精細化分析。
為分析方便，本文僅對高度為z1=75m，z2=100m以及z3=150m三點處的脈動風速隨機過程進行分析。圖1為三點處生成的脈動風速代表性時程，從圖1可知，上述兩類隨機函數形式的模擬結果均具有脈動風速過程的典型特徵。圖2為233條脈動風速代表性時程的均值與目標值比較；圖3為233條脈動風速代表性時程的標準差與目標值比較。從圖2和3的中可知，兩類隨機函數形式的模擬結果均與目標值十分接近。進一步地，表2給出了兩類隨機函數模擬結果的具體誤差，從表中可以看出，兩類隨機函數模擬結果的均值誤差和標準差誤差均非常小，其中均值誤差達到10-10，當採用經典的譜表示法模擬時，往往需生成數量巨大的脈動風速樣本時程才能達到同樣的精度水平。為此，以建築高度z1=75m為例，採用經典的譜表示法進行1000次模擬，計算的均值誤差和標準差誤差分別為2.47%和0.1%，其中均值誤差遠大於本文方法的誤差，標準差誤差與本文方法接近。這說明隨機函數降維方法僅需較小的樣本容量即可獲得較高的模擬精度，極大地提高了隨機模擬的效率。從表2中也可以看出，第一類隨機函數形式的模擬誤差略小於第二類隨機函數形式的模擬誤差，這是由於第二類隨機函數形式在等機率反變換選點時的強非線性所致。
圖4給出了兩類隨機函數形式生成的233條代表性時程的平均自相關函數與目標自相關函數比較；圖5為兩類隨機函數形式生成的233條代表性時程的平均互相關函數與目標互相關函數比較。從圖4和5中可知，兩類隨機函數形式的模擬結果均與目標相關函數擬合很好，進一步表明本文方法的有效性。
4結論
從基於正交隨機變量的譜表示方法出發，引入隨機函數的約束條件，構造了兩類正交隨機變量集的隨機函數表達形式，實現了隨機脈動風場的譜表示降維模擬，研究表明：
（1）隨機函數可以有效地降低脈動風場的隨機度。通過構造隨機函數的形式，實現了僅用兩個基本隨機變量即可在二階統計意義上較精確地表達隨機脈動風場，避免了經典的譜表示法需要大量的隨機變量來描述脈動風速隨機場的困境。
（2）隨機函數的構造形式具有多樣性。在滿足基本條件的前提下，本文構造了兩類不同形式的隨機函數，即三角函數與三角函數乘積型以及三角函數與正交多項式乘積型。儘管兩類隨機函數的構造形式及其基本隨機變量的機率分布不同，但都能有效地模擬隨機脈動風場，且模擬結果的誤差接近。因此，在工程應用中，可選擇適當的隨機函數形式來模擬隨機脈動風場。
（3）譜表示降維法所生成的代表性時程數量少，一般僅需數百條代表性時程即可在機率密度層次上反映隨機脈動風場的機率特性。每條代表性時程的賦得機率是由基本隨機變量選點來唯一確定，且生成的所有代表性時程構成一個完備的機率集，這與機率密度演化理論具有一致性，從而為結合機率密度演化理論進行複雜工程結構抗風可靠度的精細化分析提供基礎。
摘要：基於正交隨機變量的譜表示，引入隨機函數的約束條件，提出了隨機脈動風場模擬的譜表示降維方法。從譜表示模擬公式中所需隨機變量的數量及約束條件兩方面，釐清了經典譜表示與基於正交隨機變量譜表示的區別。將正交隨機變量集表達為兩個基本隨機變量的正交函數形式，使基於正交隨機變量譜表示的隨機度從數萬降低為2，極大地減少了隨機脈動風場模擬的計算量。通過構造兩類不同的正交隨機函數形式，分別對高層建築沿高度變化的水平向脈動風場進行模擬，均能獲得較高的模擬精度，檢驗了此方法的有效性。研究表明：此方法僅需2個基本隨機變量即可在密度層次上反映脈動風場的機率特性，且生成的233條代表性時程構成一個完備的機率集，進而可結合機率密度演化理論進行工程結構抗風可靠度精細化分析。
關鍵詞：脈動風場；隨機振動；譜表示；隨機函數；降維模擬
中圖分類號：TU312+1；0324 文獻標誌碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0049-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.006
引言
在結構風工程中，作用於結構的脈動風荷載具有顯著的動力特性和時空分布特性，通常採用時一空隨機場來描述。隨機脈動風場的模擬是工程結構抗風設計的首要任務，譜表示法因理論完善、算法簡單、計算精度高而被廣泛用於隨機風場的模擬。
譜表示法最早可追溯到1944年Rice對一維單變量隨機噪聲的數學分析。1971年，Shinozuka正式提出譜表示法的概念，並模擬了多維單變量時一空隨機場，在具體實施中，將時一空隨機場離散為一維多變量平穩向量過程。譜表示法在模擬一維多變量向量過程時，其核心思想是通過功率譜密度矩陣的cholesky分解，將一維多變量向量過程轉化為多個不相干的一維單變量隨機過程，並由一系列隨機相位角調製的諧波疊加來加以模擬。由於存在大量的cholesky分解和諧波疊加導致譜表示法計算效率低，Yang於1972年引入FFT算法，極大地提高了諧波疊加的效率。shinozuka等（1991，1996）分別對譜表示法模擬一維單變量過程和多維單變量隨機場的原理作了深入闡述，並對模擬結果的高斯性、無偏性及各態歷經性進行了分析。為保證模擬結果的各態歷經性，Deodatis（1996）引入雙索引頻率的概念，並結合FFT算法提高諧波疊加的效率，這一改進使得譜表示法成為一維多變量向量過程模擬的經典方法。另一方面，為提高cholesky分解的效率，cao等（2000）和Huang等（2013）分別建議了一類功率譜密度矩陣chol-esky分解的顯示表達；羅俊傑等（2008）和吳勇信等（2013）利用插值技術也在一定程度上減少了功率譜密度矩陣cholesky分解的計算量。事實上，經典的譜表示法在本質上屬於Monte carlo模擬方法，雖然從理論上看，Monte Carlo方法的效率和基本隨機變量的維數無關，然而，幾乎所有的偽隨機數生成方法都難以處理維數很高的基本隨機變量間題，因此，為保證模擬的精度，往往需要進行大量的隨機抽樣。數量巨大的樣本不僅增加了隨機模擬的計算量，也極大地增加了結構隨機動力響應計算的工作量。
近年來，為克服隨機過程譜表示法計算量大的問題，陳建兵和李傑提出了隨機諧和函數表達方法，並對譜表示法的頻率選點進行了優化；李傑等從物理建模的角度出發，建立了脈動風速場的物理隨機函數模型，用若干基本隨機變量表達脈動風速場。同時，筆者從數學建模的角度，通過引入隨機函數的約束條件，初步建立了工程隨機動力作用的機率模型，實現了僅用1～2個基本隨機變量即可模擬一維單變量隨機過程的目的，極大地降低了隨機過程模擬的隨機度，並結合機率密度演化理論，對工程結構的抗震可靠度作了定量分析。在此基礎上，本文進一步將隨機函數思想拓展到隨機風場的模擬，實現對隨機脈動風場模擬的譜表示降維處理，從而為結構風荷載提供一種更為高效的模擬方法。
1基於正交隨機變量的譜表示
與經典的譜表示法相比，儘管基於正交隨機變量的譜表示在描述時一空隨機場時所需隨機變量的數量更多（比經典譜表示法多1倍），計算量更大；但從隨機變量的約束條件來看，基於正交隨機變量的譜表示中隨機變量的約束條件（式（12））要弱於經典的譜表示法。事實上，式（12）僅要求隨機變量滿足正交性條件，而對其機率分布未作要求；在經典譜劉章軍，等：隨機脈動風場的譜表示降維模擬表示法中，隨機相位角必須滿足區間（0，2π]上的均勻分布。為此，可對正交隨機變量集施加適當的約束條件（隨機函數），以實現平穩向量過程模擬的譜表示降維，進而有效減少模擬次數。
2正交隨機變量集的降維表達
3脈動風場數值模擬
利用數論方法選取基本隨機變量的代表性點集時，基本隨機變量的每一個代表性點都具有確定的賦得機率，且所選的代表性點集構成一個完備的機率集，因而本文方法生成的脈動風速代表性時程能夠包含脈動風場的完備機率信息。根據機率密度演化理論，對於保守的隨機系統，其隨機性來源於系統參數的隨機性和外部激勵的隨機性，本文方法不僅可以精細地描述隨機系統外部激勵的隨機性，也可以同時描述系統參數的隨機性，因而可結合機率密度演化理論進行結構隨機風振響應及抗風可靠度精細化分析。
為分析方便，本文僅對高度為z1=75m，z2=100m以及z3=150m三點處的脈動風速隨機過程進行分析。圖1為三點處生成的脈動風速代表性時程，從圖1可知，上述兩類隨機函數形式的模擬結果均具有脈動風速過程的典型特徵。圖2為233條脈動風速代表性時程的均值與目標值比較；圖3為233條脈動風速代表性時程的標準差與目標值比較。從圖2和3的中可知，兩類隨機函數形式的模擬結果均與目標值十分接近。進一步地，表2給出了兩類隨機函數模擬結果的具體誤差，從表中可以看出，兩類隨機函數模擬結果的均值誤差和標準差誤差均非常小，其中均值誤差達到10-10，當採用經典的譜表示法模擬時，往往需生成數量巨大的脈動風速樣本時程才能達到同樣的精度水平。為此，以建築高度z1=75m為例，採用經典的譜表示法進行1000次模擬，計算的均值誤差和標準差誤差分別為2.47%和0.1%，其中均值誤差遠大於本文方法的誤差，標準差誤差與本文方法接近。這說明隨機函數降維方法僅需較小的樣本容量即可獲得較高的模擬精度，極大地提高了隨機模擬的效率。從表2中也可以看出，第一類隨機函數形式的模擬誤差略小於第二類隨機函數形式的模擬誤差，這是由於第二類隨機函數形式在等機率反變換選點時的強非線性所致。
圖4給出了兩類隨機函數形式生成的233條代表性時程的平均自相關函數與目標自相關函數比較；圖5為兩類隨機函數形式生成的233條代表性時程的平均互相關函數與目標互相關函數比較。從圖4和5中可知，兩類隨機函數形式的模擬結果均與目標相關函數擬合很好，進一步表明本文方法的有效性。
4結論
從基於正交隨機變量的譜表示方法出發，引入隨機函數的約束條件，構造了兩類正交隨機變量集的隨機函數表達形式，實現了隨機脈動風場的譜表示降維模擬，研究表明：
（1）隨機函數可以有效地降低脈動風場的隨機度。通過構造隨機函數的形式，實現了僅用兩個基本隨機變量即可在二階統計意義上較精確地表達隨機脈動風場，避免了經典的譜表示法需要大量的隨機變量來描述脈動風速隨機場的困境。
（2）隨機函數的構造形式具有多樣性。在滿足基本條件的前提下，本文構造了兩類不同形式的隨機函數，即三角函數與三角函數乘積型以及三角函數與正交多項式乘積型。儘管兩類隨機函數的構造形式及其基本隨機變量的機率分布不同，但都能有效地模擬隨機脈動風場，且模擬結果的誤差接近。因此，在工程應用中，可選擇適當的隨機函數形式來模擬隨機脈動風場。
（3）譜表示降維法所生成的代表性時程數量少，一般僅需數百條代表性時程即可在機率密度層次上反映隨機脈動風場的機率特性。每條代表性時程的賦得機率是由基本隨機變量選點來唯一確定，且生成的所有代表性時程構成一個完備的機率集，這與機率密度演化理論具有一致性，從而為結合機率密度演化理論進行複雜工程結構抗風可靠度的精細化分析提供基礎。
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