我們知道數學有三大特性，即抽象性、嚴密性和應用的廣泛性，但在學科培訓、教學研究中一方面我們必須從數學三大特性的高度理性地認識數學，另一方面我們需要對數學的特點有著更具體、更鮮活、更有意蘊的理解。於是我們改編、新創了一組關於數學的精粹而有意蘊的故事，期望藉助數學故事引導學生真切地感悟數學的真諦。
故事一：燒水的問題
有好事者提出這樣一個問題：「假如你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒些水應當怎樣去做？」
被提問者答道：「在壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。」
提問者肯定了這一回答，接著追問：「如其他條件不變，只是水壺中已有了足夠的水，那你又應當怎樣去做？ 」
這時被提問者很有信心地答道：「點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。」
但是提問者說：「物理學家通常都這麼做，而數學家們則會倒去壺中的水，並聲稱已把後一問題轉化成先前的問題。」
感悟：數學家「倒去壺中的水」似乎是多此一舉，故事的編創者不是要我們去「倒去壺中的水」，而是引導我們感悟數學家獨特的思維方式──轉化。
學習數學不是問題解決方案的累積記憶，而是要學會把未知的問題轉化成已知的問題，把複雜的問題轉化成簡單的問題，把抽象的問題轉化成具體的問題。數學的轉化思想簡化了我們的思維狀態，提升了我們的思維品質。轉化不是就事論事、一事一策，而是發掘出問題中最本質的內核和原型，再把新問題轉化成與已經能夠解決的問題。
轉化思想是數學的基本思想，它應貫穿在我們數學教學的始終。
故事二：兩隻羊的描述
草地上有兩隻羊，在藝術家、生物學家、物理學家、數學家看來卻有不同的感受與理解，下面是他們的的描述。
藝術家：「藍天、碧水、綠草、白羊，美哉自然。」
生物學家：「雄雌一對，生生不息。」
物理學家：「大羊靜臥，小羊漫步。」
數學家：「1+1=2。」
感悟：從故事中不同職業的人對兩隻羊的描述，我們感受到藝術家對自然美的關注，生物學家對生命的關注，物理學家對運動與靜止的關注，而數學家從色彩、性別、狀態中抽象出數量關係：1+1=2，這是數學高度抽象性的體現。
在數學教學中，學生的數學學習要經歷具體—表象—抽象的過程，教學時要在直觀物體和抽象概念之間構建橋樑，從而引導學生把握事物最主要、最本質的數學屬性。
抽象有一個學生經歷的過程，而不是直接告訴學生抽象的結果。數學抽象本身又是一個不斷提高的過程，這一過程永無止境。
故事三：籬笆圍面積
一位農夫請了工程師、物理學家和數學家，讓他們用最少的籬笆圍出最大的面積。
工程師用籬笆圍出一個圓，宣稱這是最優設計。
物理學家說：「將籬笆分解拉開，形成一條足夠長的直線，當圍起半個地球時，面積最大了。」
數學家好好嘲笑了他們一番。他用很少的籬笆把自己圍起來，然後說：「我現在是在籬笆的外面。」
感悟：工程師的設計是實用的、唯美的，不愧是「最優設計」。物理學家的思維具有奇特的想像力，籬笆可無限地分解拉開，似乎圍成的面積已經是 「最大了」。數學家是用很少的籬笆把自己圍起來，然後說：「我現在是在籬笆的外面。」工程師和物理學家力圖圍出最大的面積，而數學家是先圍出最小的面積。人們說，退一步海闊天空，而數學家何止是退一步，是反其道而行之。「反其道」是一種逆向思維的品質。
逆向思維是創造思維的組成部分。在我們面對「山重水複」之時，逆向思考常常使我們找到「柳暗花明」之路。數學教學應使逆向思維成為學生應有的自覺意識和實踐行為。
故事四：蘇格蘭的羊
三位科學家由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發現了一隻黑羊。
「啊，」 天文學家說，「原來蘇格蘭的羊是黑色的。」
「得了吧，僅憑一次觀察你可不能這麼說。」 物理學家道，「你只能說那隻黑色的羊是在蘇格蘭邊境發現的。」
「也不對，」數學家道，「由這次觀察你只能說：在這一時刻，這隻羊，從我們觀察的角度看過去，有一側表面上是黑色的。」
感悟：著名的思想家培根說過：「數學使人精確。」故事中的數學家對蘇格蘭羊的描述充分體現出數學的嚴密性。
數學是思維的體操，語言是思維的外殼，數學的理性思維是建立在數學概念、數學定理等數學語言的嚴密界定之上的。數學語言的簡潔、精鍊、嚴密的特性需要我們在平時的數學教育教學中不斷地錘鍊教學語言，並進而通過數學語言的訓練提升學生的思維品質。
故事五：三角形的內角和
美籍華人陳省身教授是當代舉世聞名的數學家，他在北京大學的一次講學中語驚四座：
「人們常說，三角形內角和等於180度。但是，這是不對的!」
大家愕然。怎麼回事?三角形內角和是180度，這不是數學常識嗎?
接著，這位老教授對大家的疑問作了精闢的解答：「說三角形內角和為180度不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應當說三角形外角和是360度。」
「把眼光盯住內角，我們只能看到：
三角形內角和是180度；
四邊形內角和是360度；
五邊形內角和是540度；
……
n邊形內角和是(n－2)×180度。
這就找到了一個計算內角和的公式。公式里出現了邊數n。如果看外角呢?
三角形的外角和是360度；
四邊形的外角和是360度；
五邊形的外角和是360度；
……
任意n邊形外角和都是360度。
這就把多種情形用一個十分簡單的結論概括起來。用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式，找到了更一般的規律。」
感悟：讀罷陳省身的故事，我們想起數學家波萊爾的一段話：「數學家的目的往往是尋求一般的解，他喜歡用幾個一般的公式來解決許多特殊的問題。」
數學教學不是羅列更多的現象，也不是追求更妙的技巧，而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規律和答案。
故事六：樹上有幾隻鳥
某日，老師想看看學生的智商如何，於是有了下面的對話。
老師問：「樹上有10隻鳥，開槍打死1隻，還剩幾隻?」
學生反問：「您確定那隻鳥真的被打死了嗎?」
「確定。」
「是無聲手槍嗎?」
「不是。」
「槍聲有多大?」
「80～100分貝。」
「那就是說會震得耳朵疼?」
「是。」
老師已經不耐煩了，「拜託，你告訴我還剩幾隻就行，OK?」
「OK，樹上的鳥有沒有聾子？」
「沒有。」
「有沒有關在籠子裡的?」
「沒有。」
「邊上還有沒有其他的樹？樹上還有沒有其他的鳥?」
「沒有。」
「算不算懷在肚子裡的小鳥？」
「不算。」
「打鳥的人眼有沒有花？保證是10隻？」
「沒有花，就10隻。」
老師已經滿頭是汗，且下課鈴已響了，但學生還是追問。
「有沒有傻到不怕死的？」
「都怕死。」
「會不會一槍打死2隻？」
「不會。」
「所有的鳥都可以自由活動嗎？」
「完全可以。」
「如果您的回答沒有騙人，」 學生滿懷信心地說，「打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那麼就剩下1隻；如果掉下來，就1隻不剩。」
老師當即暈倒……
感悟：讀完上述故事，我們似乎也有暈倒的感覺。樹上有幾隻鳥，本是一道趣味數學題。數學需要趣味，那怕這種趣味帶點幼稚，答案不夠周密。「趣味數學」是激發學生數學想像、數學情趣及思維火化的有效素材。趣味數學題一旦「坐實」，就失去了生機與活力。故事中的學生似乎有點「走火入魔」，這會不會與我們刻板的教學有關呢？
如果開放題被肢解成一道道封閉題，就違背了開放的本意。數學需要開放，開放的目的是發散學生的思維，開放的本質是思維。數學教育教學中需要開放，開放包括教學組織及整個設計，不可狹隘地理解為一道數學題，而是一個貫穿教學過程的主題，開放題只是載體與素材，開放應上升為一種思想。
諸如「樹上有幾隻鳥」之類的話題，您也許別有一番高見，智者見智、趣者見趣，最後還是讓我們讀讀下面兩段文字：「甚至在數學上也是需要幻想的，甚至沒有它就不可能發明微積分。」（列寧語）「沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。」（牛頓語）
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