註：以下本文授權轉改自微信公眾號「廣州新東方優能中學」.
模型提出
我們知道在直角三角形ABC中，若∠C=90°，則有c²=a²+b²，這裡符合勾股定理公式的前提是：三條線段在一個直角三角形中。大家有沒有遇到這樣的題呢？比如：
如圖，點P在正三角形ABC中，∠APB=150°，求證PA²+PB²=PC²
或者再比如：
如圖，點P在正三角形ABC外，∠APC=30°，求證PB²=PA²+PC²
三條線段並不在一個直角三角形中，怎麼證勾股關係呢？
我們觀察發現三條線段不是隨意的，而是共頂點的。往往是這樣：
或者這樣
哈哈，是不是長得很像？
三腳架？
V.S.
是不是也很像我們愛吃的雞爪呢？
於是我們常常把這樣一個頂點引出的三條線段叫做「雞爪型」線段。
解法探究
接下來問題來了，怎樣解決三條線段不在同一直角三角形的問題？
那當然是要對線段進行位置變換了。
我們初中階段一共是有三種位置變換：平移、旋轉、翻折（對稱）。
這裡我們用的是旋轉思想。
平移和對稱我們已經學過，旋轉在初中是放在九年級上冊（第23章）的，但我們小學和初中教材的編排是螺旋式的深入的，其實旋轉在小學就有學過，包括旋轉的三個要素：繞哪轉（旋轉中心），順時針轉還是逆時針轉（旋轉方向），轉多少度（旋轉角）。
初二上我們其實接觸過一類旋轉式的全等：
哈哈，記起來了嗎？這不就是我們前文講過的手拉手模型嗎？它們的全等都叫旋轉式全等。關於手拉手模型可看以下文章：
【中考專題】手拉手模型（一）—等腰旋轉，全等出現
【中考專題】手拉手模型（二）—旋縮變換，相似成雙
特徵是：兩個頂角相等的等腰三角形共點旋轉
核心是：①兩組相等的線段（兩組手）、②兩組手的夾角一樣
全等類手拉手模型，簡圖如下：
那麼如果我們給出三條手，你能畫出第四條嗎？
①找兩條大手（紅色的）及大手的夾角，
②利用大手的夾角就是小手的夾角確定第四條手；
所以大家畫的是不是這樣：
或者
實戰中我們往往是兩步：先找到前兩條手（等腰的兩腰），再找第三條手，根據夾角相等的原則畫第四條手。
實戰應用
我們來看一下如何應用吧！
例1:
如圖，點P在正三角形ABC中，∠APB=150°，求證PA²+PB²=PC².
PA，PB，PC，確認過眼神，這是我們要找的雞爪型
來吧：
Step1：找頂點，找兩腰
本題A、B、C都可以當等腰的頂點，這裡舉例A作頂點，則兩腰為AB和AC
Step2：找第三條手畫第四條手
我們知道四條手是共點的，那自然AP就是我們的第三條手，再按照我們上面的方法就可以畫出第四條手
當然這裡往左邊也可以啦
Step3：大拉小，連等腰（連PD）
書面作答描述：
解：將△ABP饒點A逆時針方向旋轉60°至三角型ACD位置，
則△ABP≌△△ADC，
則∠BAP=∠CAD，PA=DA，DC=PB
∠PAC+∠CAD=∠BAP+∠PAC=60°
∴△APD為等邊三角形
∴PA=PD
∠PDC=∠ADC-∠ADP=150°-60°=90°
即三角形PDC為直角三角形（核心所在！）
∴PD²+CD²=PC²
即PA²+PB²=PC².
怎麼樣，方法是不是很炫酷呢？
當然我們說過，這題A、B、C都可以當頂點，而且可以左旋可以右旋，所以這題一共有六種旋轉方法，學霸們可以都試一下的~
總結一下：
在識別出我們的雞爪圖後，我們三步法
1、找頂點、找兩腰
2、找第三條手，畫第四條手
3、大拉小，連等腰
最最最最重要的，連完後往往還會有直角三角形出現，也就出現了我們的勾股關係；
來道變式檢測大家是否掌握完全。
變式1:
如圖，點P在正三角形ABC外，∠APC=30°，求證：PB²=PA²+PC².
先識別：PB，PA，PC共頂點的三條線段，就是雞爪，接下來就三步走啦！
這裡過程就不詳寫啦，和前面那題差不多，可以證∠DPC=90°；
DP²+PC²=DC²，即PA²+PC²=PB².
變式2
如圖，點P在等腰直角三角形ABC中， ∠APB=135°，求證2PA²+PB²=PC².
思考：結論和之前有何不同？為什麼會多一個2，不妨先變換線段位置再看看吧！
確認過眼神，你就是我要找的爪~，看我的三步法
注意：
這題有些不一樣：PD²=PA²+DA²，PB²=DC²，∠PDC=∠ADC-∠ADP=135°-45°=90°
∴PD²+CD²=PC²
即2PA²+PB²=PC²
變式3
如右圖，點P在等腰直角三角形ABC外， ∠APC=45°，求證2PA²+PC²=PB².
思考一下哦！
確認過眼神，你就是我要找的爪~，看我的三步法
變式4
如右圖，點P在等腰直角三角形ABC斜邊BC上，求證2PA²=PC²+PB².
過程還是基本同上哦，這裡就不細寫啦！
最後留一道廣州中考題給大家思考啦
真題實戰
（2018年廣州中考·25）
如圖12，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.
連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數量關係，並說明理由；
思考片刻，先不要往下看哦~
思考中
……
我們來對一下答案吧
和我們變式1是不是一樣一樣呢？
另外，2016年廣州中考最後一題最後一問也是可以用我們的三步法秒殺的，這裡楊老師就先不展開了
末尾，我們再總結一下今日所學：
【模型特徵】：雞爪型
【操作三部曲】：
找頂點，找兩腰
找第三條手，畫第四條手
大拉小，連等腰
【核心結論】：
連完輔助線往往會產生新的直角三角形、等邊三角形等。
模型提出
我們知道在直角三角形ABC中，若∠C=90°，則有c²=a²+b²，這裡符合勾股定理公式的前提是：三條線段在一個直角三角形中。大家有沒有遇到這樣的題呢？比如：
如圖，點P在正三角形ABC中，∠APB=150°，求證PA²+PB²=PC²
或者再比如：
如圖，點P在正三角形ABC外，∠APC=30°，求證PB²=PA²+PC²
三條線段並不在一個直角三角形中，怎麼證勾股關係呢？
我們觀察發現三條線段不是隨意的，而是共頂點的。往往是這樣：
或者這樣
哈哈，是不是長得很像？
三腳架？
V.S.
是不是也很像我們愛吃的雞爪呢？
於是我們常常把這樣一個頂點引出的三條線段叫做「雞爪型」線段。
解法探究
接下來問題來了，怎樣解決三條線段不在同一直角三角形的問題？
那當然是要對線段進行位置變換了。
我們初中階段一共是有三種位置變換：平移、旋轉、翻折（對稱）。
這裡我們用的是旋轉思想。
平移和對稱我們已經學過，旋轉在初中是放在九年級上冊（第23章）的，但我們小學和初中教材的編排是螺旋式的深入的，其實旋轉在小學就有學過，包括旋轉的三個要素：繞哪轉（旋轉中心），順時針轉還是逆時針轉（旋轉方向），轉多少度（旋轉角）。
初二上我們其實接觸過一類旋轉式的全等：
哈哈，記起來了嗎？這不就是我們前文講過的手拉手模型嗎？它們的全等都叫旋轉式全等。關於手拉手模型可看以下文章：
【中考專題】手拉手模型（一）—等腰旋轉，全等出現
【中考專題】手拉手模型（二）—旋縮變換，相似成雙
特徵是：兩個頂角相等的等腰三角形共點旋轉
核心是：①兩組相等的線段（兩組手）、②兩組手的夾角一樣
全等類手拉手模型，簡圖如下：
那麼如果我們給出三條手，你能畫出第四條嗎？
①找兩條大手（紅色的）及大手的夾角，
②利用大手的夾角就是小手的夾角確定第四條手；
所以大家畫的是不是這樣：
或者
實戰中我們往往是兩步：先找到前兩條手（等腰的兩腰），再找第三條手，根據夾角相等的原則畫第四條手。
實戰應用
我們來看一下如何應用吧！
例1:
如圖，點P在正三角形ABC中，∠APB=150°，求證PA²+PB²=PC².
PA，PB，PC，確認過眼神，這是我們要找的雞爪型
來吧：
Step1：找頂點，找兩腰
本題A、B、C都可以當等腰的頂點，這裡舉例A作頂點，則兩腰為AB和AC
Step2：找第三條手畫第四條手
我們知道四條手是共點的，那自然AP就是我們的第三條手，再按照我們上面的方法就可以畫出第四條手
當然這裡往左邊也可以啦
Step3：大拉小，連等腰（連PD）
書面作答描述：
解：將△ABP饒點A逆時針方向旋轉60°至三角型ACD位置，
則△ABP≌△△ADC，
則∠BAP=∠CAD，PA=DA，DC=PB
∠PAC+∠CAD=∠BAP+∠PAC=60°
∴△APD為等邊三角形
∴PA=PD
∠PDC=∠ADC-∠ADP=150°-60°=90°
即三角形PDC為直角三角形（核心所在！）
∴PD²+CD²=PC²
即PA²+PB²=PC².
怎麼樣，方法是不是很炫酷呢？
當然我們說過，這題A、B、C都可以當頂點，而且可以左旋可以右旋，所以這題一共有六種旋轉方法，學霸們可以都試一下的~
總結一下：
在識別出我們的雞爪圖後，我們三步法
1、找頂點、找兩腰
2、找第三條手，畫第四條手
3、大拉小，連等腰
最最最最重要的，連完後往往還會有直角三角形出現，也就出現了我們的勾股關係；
來道變式檢測大家是否掌握完全。
變式1:
如圖，點P在正三角形ABC外，∠APC=30°，求證：PB²=PA²+PC².
先識別：PB，PA，PC共頂點的三條線段，就是雞爪，接下來就三步走啦！
這裡過程就不詳寫啦，和前面那題差不多，可以證∠DPC=90°；
DP²+PC²=DC²，即PA²+PC²=PB².
變式2
如圖，點P在等腰直角三角形ABC中， ∠APB=135°，求證2PA²+PB²=PC².
思考：結論和之前有何不同？為什麼會多一個2，不妨先變換線段位置再看看吧！
確認過眼神，你就是我要找的爪~，看我的三步法
注意：
這題有些不一樣：PD²=PA²+DA²，PB²=DC²，∠PDC=∠ADC-∠ADP=135°-45°=90°
∴PD²+CD²=PC²
即2PA²+PB²=PC²
變式3
如右圖，點P在等腰直角三角形ABC外， ∠APC=45°，求證2PA²+PC²=PB².
思考一下哦！
確認過眼神，你就是我要找的爪~，看我的三步法
變式4
如右圖，點P在等腰直角三角形ABC斜邊BC上，求證2PA²=PC²+PB².
過程還是基本同上哦，這裡就不細寫啦！
最後留一道廣州中考題給大家思考啦
真題實戰
（2018年廣州中考·25）
如圖12，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.
連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數量關係，並說明理由；
思考片刻，先不要往下看哦~
思考中
……
我們來對一下答案吧
和我們變式1是不是一樣一樣呢？
另外，2016年廣州中考最後一題最後一問也是可以用我們的三步法秒殺的，這裡楊老師就先不展開了
末尾，我們再總結一下今日所學：
【模型特徵】：雞爪型
【操作三部曲】：
找頂點，找兩腰
找第三條手，畫第四條手
大拉小，連等腰
【核心結論】：
連完輔助線往往會產生新的直角三角形、等邊三角形等。
收藏