5.行程問題
(一)知識點
1.行程問題中的三個基本量及其關係：路程=速度×時間 時間=路程÷速度 速度=路程÷時間
2.行程問題基本類型(1)相遇問題： 快行距+慢行距=原距(2)追及問題： 快行距-慢行距=原距(3)航行問題： 順水(風)速度=靜水(風)速度+水流(風)速度逆水(風)速度=靜水(風)速度-水流(風)速度抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點考慮相等關係
(二)例題解析
1.從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用3.6小時，已知步行速度為每小時8千米，公交車的速度為每小時40千米，設甲、乙兩地相距x千米，則列方程為_____ 。
解：等量關係 步行時間-乘公交車的時間=3.6小時
列出方程是：X/8-X/40=3.6
2.某人從家裡騎自行車到學校。若每小時行15千米，可比預定時間早到15分鐘;若每小時行9千米，可比預定時間晚到15分鐘;求從家裡到學校的路程有多少千米?
解：等量關係
⑴ 速度15千米行的總路程=速度9千米行的總路程
⑵ 速度15千米行的時間+15分鐘=速度9千米行的時間-15分鐘
提醒：速度已知時，設時間列路程等式的方程，設路程列時間等式的方程。
方法一：設預定時間為x小/時，則列出方程是：15(x-0.25)=9(x+0.25)
方法二：設從家裡到學校有x千米，則列出方程是：
X/15+15/60=X/9-15/60
3.一列客車車長200米，一列貨車車長280米，在平行的軌道上相向行駛，從兩車頭相遇到兩車車尾完全離開經過16秒，已知客車與貨車的速度之比是3：2，問兩車每秒各行駛多少米?
提醒：將兩車車尾視為兩人，並且以兩車車長和為總路程的相遇問題。
等量關係：快車行的路程+慢車行的路程=兩列火車的車長之和
設客車的速度為3X米/秒，貨車的速度為2X米/秒，
則 16×3X+16×2X=200+280
4.與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時向南行進。行人的速度是每小時3.6km，騎自行車的人的速度是每小時10.8km。如果一列火車從他們背後開來，它通過行人的時間是22秒，通過騎自行車的人的時間是26秒。
⑴ 行人的速度為每秒多少米?
⑵ 這列火車的車長是多少米?
提醒：將火車車尾視為一個快者，則此題為以車長為提前量的追擊問題。
等量關係：
① 兩種情形下火車的速度相等
② 兩種情形下火車的車長相等
在時間已知的情況下，設速度列路程等式的方程，設路程列速度等式的方程。
解：
⑴ 行人的速度是：3.6km/時=3600米÷3600秒=1米/秒
騎自行車的人的速度是：10.8km/時=10800米÷3600秒=3米/秒
⑵ 方法一：設火車的速度是X米/秒，則 26×(X-3)=22×(X-1) 解得X=4
方法二：設火車的車長是x米，則(X+22×1)/22=(X+26×3)/26
6.一次遠足活動中，一部分人步行，另一部分乘一輛汽車，兩部分人同地出發。汽車速度是60千米/時，步行的速度是5千米/時，步行者比汽車提前1小時出發，這輛汽車到達目的地後，再回頭接步行的這部分人。出發地到目的地的距離是60千米。
問：步行者在出發後經過多少時間與回頭接他們的汽車相遇(汽車掉頭的時間忽略不計)
提醒：此類題相當於環形跑道問題，兩者行的總路程為一圈，即步行者行的總路程+汽車行的總路程=60×2
解：設步行者在出發後經過X小時與回頭接他們的汽車相遇，則 5X+60(X-1)=60×2
7.某人計劃騎車以每小時12千米的速度由A地到B地，這樣便可在規定的時間到達B地，但他因事將原計劃的時間推遲了20分，便只好以每小時15千米的速度前進，結果比規定時間早4分鐘到達B地，求A、B兩地間的距離。
解：方法一：設由A地到B地規定的時間是 x 小時，則
12x=15×(X-20/60-4/60)
X=2
12X=12×2=24(千米)
方法二：設由A、B兩地的距離是 x 千米，則(設路程，列時間等式)
X/12-X/15=20/60+4/60
X=24
答：A、B兩地的距離是24千米。
溫馨提醒：當速度已知，設時間，列路程等式;設路程，列時間等式是我們的解題策略。
8.一列火車勻速行駛，經過一條長300m的隧道需要20s的時間。隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發光，燈光照在火車上的時間是10s，根據以上數據，你能否求出火車的長度?火車的長度是多少?若不能，請說明理由。
解析：只要將車尾看作一個行人去分析即可，前者為此人通過300米的隧道再加上一個車長，後者僅為此人通過一個車長。
此題中告訴時間，只需設車長列速度關係，或者是設車速列車長關係等式。
解：方法一：設這列火車的長度是x米，根據題意，得
(300+X)/20=X/10
x=300
答：這列火車長300米。
方法二：設這列火車的速度是x米/秒，
根據題意，得
20x-300=10x x=30 10x=300
答：這列火車長300米。
9.甲、乙兩地相距x千米，一列火車原來從甲地到乙地要用15小時，開通高速鐵路後，車速平均每小時比原來加快了60千米，因此從甲地到乙地只需要10小時即可到達，列方程得________ 。
X/10-X/15=60
10.兩列火車分別行駛在平行的軌道上，其中快車車長為100米，慢車車長150米，已知當兩車相向而行時，快車駛過慢車某個窗口所用的時間為5秒。
⑴ 兩車的速度之和及兩車相向而行時慢車經過快車某一窗口所用的時間各是多少?
⑵ 如果兩車同向而行，慢車速度為8米/秒，快車從後面追趕慢車，那麼從快車的車頭趕上慢車的車尾開始到快車的車尾離開慢車的車頭所需的時間至少是多少秒?
解析：① 快車駛過慢車某個窗口時：研究的是慢車窗口的人和快車車尾的人的相遇問題，此時行駛的路程和為快車車長!
② 慢車駛過快車某個窗口時：研究的是快車窗口的人和慢車車尾的人的相遇問題，此時行駛的路程和為慢車車長!
③ 快車從後面追趕慢車時：研究的是快車車尾的人追趕慢車車頭的人的追擊問題，此時行駛的路程和為兩車車長之和!
解：⑴ 兩車的速度之和=100÷5=20(米/秒)
慢車經過快車某一窗口所用的時間=150÷20=7.5(秒)
⑵ 設至少是x秒，(快車車速為20-8)
則 (20-8)X-8X=100+150
X=62.5
答：至少62.5秒快車從後面追趕上並全部超過慢車。
11.甲、乙兩人同時從A地前往相距25.5千米的B地，甲騎自行車，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米/時，甲先到達B地後，立即由B地返回，在途中遇到乙，這時距他們出發時已過了3小時。求兩人的速度。
解：設乙的速度是X千米/時，則
3X+3 (2X+2)=25.5×2
∴ X=5
2X+2=12
答：甲、乙的速度分別是12千米/時、5千米/時。
12.一艘船在兩個碼頭之間航行，水流的速度是3千米/時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭之間的距離。
解：設船在靜水中的速度是X千米/時，則
3×(X-3)=2×(X+3)
解得x=15 2×(X+3)=2×(15+3) =36(千米)
答：兩碼頭之間的距離是36千米。
13.小明在靜水中划船的速度為10千米/時，今往返於某條河，逆水用了9小時，順水用了6小時，求該河的水流速度。
解：設水流速度為x千米/時，
則9(10-X)=6(10+X)
解得X=2
答：水流速度為2千米/時
14.某船從A碼頭順流航行到B碼頭，然後逆流返行到C碼頭，共行20小時，已知船在靜水中的速度為7.5千米/時，水流的速度為2.5千米/時，若A與C的距離比A與B的距離短40千米，求A與B的距離。
解：設A與B的距離是X千米，(請你按下面的分類畫出示意圖，來理解所列方程)
① 當C在A、B之間時，X/(7.5+2.5)+40/(7.5-2.5)=20
解得x=120
② 當C在BA的延長線上時，
X/(7.5+2.5)+(X+X-40)/(7.5-2.5)=20
解得x=56
答：A與B的距離是120千米或56千米。
(一)知識點
1.行程問題中的三個基本量及其關係：路程=速度×時間 時間=路程÷速度 速度=路程÷時間
2.行程問題基本類型(1)相遇問題： 快行距+慢行距=原距(2)追及問題： 快行距-慢行距=原距(3)航行問題： 順水(風)速度=靜水(風)速度+水流(風)速度逆水(風)速度=靜水(風)速度-水流(風)速度抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點考慮相等關係
(二)例題解析
1.從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用3.6小時，已知步行速度為每小時8千米，公交車的速度為每小時40千米，設甲、乙兩地相距x千米，則列方程為_____ 。
解：等量關係 步行時間-乘公交車的時間=3.6小時
列出方程是：X/8-X/40=3.6
2.某人從家裡騎自行車到學校。若每小時行15千米，可比預定時間早到15分鐘;若每小時行9千米，可比預定時間晚到15分鐘;求從家裡到學校的路程有多少千米?
解：等量關係
⑴ 速度15千米行的總路程=速度9千米行的總路程
⑵ 速度15千米行的時間+15分鐘=速度9千米行的時間-15分鐘
提醒：速度已知時，設時間列路程等式的方程，設路程列時間等式的方程。
方法一：設預定時間為x小/時，則列出方程是：15(x-0.25)=9(x+0.25)
方法二：設從家裡到學校有x千米，則列出方程是：
X/15+15/60=X/9-15/60
3.一列客車車長200米，一列貨車車長280米，在平行的軌道上相向行駛，從兩車頭相遇到兩車車尾完全離開經過16秒，已知客車與貨車的速度之比是3：2，問兩車每秒各行駛多少米?
提醒：將兩車車尾視為兩人，並且以兩車車長和為總路程的相遇問題。
等量關係：快車行的路程+慢車行的路程=兩列火車的車長之和
設客車的速度為3X米/秒，貨車的速度為2X米/秒，
則 16×3X+16×2X=200+280
4.與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時向南行進。行人的速度是每小時3.6km，騎自行車的人的速度是每小時10.8km。如果一列火車從他們背後開來，它通過行人的時間是22秒，通過騎自行車的人的時間是26秒。
⑴ 行人的速度為每秒多少米?
⑵ 這列火車的車長是多少米?
提醒：將火車車尾視為一個快者，則此題為以車長為提前量的追擊問題。
等量關係：
① 兩種情形下火車的速度相等
② 兩種情形下火車的車長相等
在時間已知的情況下，設速度列路程等式的方程，設路程列速度等式的方程。
解：
⑴ 行人的速度是：3.6km/時=3600米÷3600秒=1米/秒
騎自行車的人的速度是：10.8km/時=10800米÷3600秒=3米/秒
⑵ 方法一：設火車的速度是X米/秒，則 26×(X-3)=22×(X-1) 解得X=4
方法二：設火車的車長是x米，則(X+22×1)/22=(X+26×3)/26
6.一次遠足活動中，一部分人步行，另一部分乘一輛汽車，兩部分人同地出發。汽車速度是60千米/時，步行的速度是5千米/時，步行者比汽車提前1小時出發，這輛汽車到達目的地後，再回頭接步行的這部分人。出發地到目的地的距離是60千米。
問：步行者在出發後經過多少時間與回頭接他們的汽車相遇(汽車掉頭的時間忽略不計)
提醒：此類題相當於環形跑道問題，兩者行的總路程為一圈，即步行者行的總路程+汽車行的總路程=60×2
解：設步行者在出發後經過X小時與回頭接他們的汽車相遇，則 5X+60(X-1)=60×2
7.某人計劃騎車以每小時12千米的速度由A地到B地，這樣便可在規定的時間到達B地，但他因事將原計劃的時間推遲了20分，便只好以每小時15千米的速度前進，結果比規定時間早4分鐘到達B地，求A、B兩地間的距離。
解：方法一：設由A地到B地規定的時間是 x 小時，則
12x=15×(X-20/60-4/60)
X=2
12X=12×2=24(千米)
方法二：設由A、B兩地的距離是 x 千米，則(設路程，列時間等式)
X/12-X/15=20/60+4/60
X=24
答：A、B兩地的距離是24千米。
溫馨提醒：當速度已知，設時間，列路程等式;設路程，列時間等式是我們的解題策略。
8.一列火車勻速行駛，經過一條長300m的隧道需要20s的時間。隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發光，燈光照在火車上的時間是10s，根據以上數據，你能否求出火車的長度?火車的長度是多少?若不能，請說明理由。
解析：只要將車尾看作一個行人去分析即可，前者為此人通過300米的隧道再加上一個車長，後者僅為此人通過一個車長。
此題中告訴時間，只需設車長列速度關係，或者是設車速列車長關係等式。
解：方法一：設這列火車的長度是x米，根據題意，得
(300+X)/20=X/10
x=300
答：這列火車長300米。
方法二：設這列火車的速度是x米/秒，
根據題意，得
20x-300=10x x=30 10x=300
答：這列火車長300米。
9.甲、乙兩地相距x千米，一列火車原來從甲地到乙地要用15小時，開通高速鐵路後，車速平均每小時比原來加快了60千米，因此從甲地到乙地只需要10小時即可到達，列方程得________ 。
X/10-X/15=60
10.兩列火車分別行駛在平行的軌道上，其中快車車長為100米，慢車車長150米，已知當兩車相向而行時，快車駛過慢車某個窗口所用的時間為5秒。
⑴ 兩車的速度之和及兩車相向而行時慢車經過快車某一窗口所用的時間各是多少?
⑵ 如果兩車同向而行，慢車速度為8米/秒，快車從後面追趕慢車，那麼從快車的車頭趕上慢車的車尾開始到快車的車尾離開慢車的車頭所需的時間至少是多少秒?
解析：① 快車駛過慢車某個窗口時：研究的是慢車窗口的人和快車車尾的人的相遇問題，此時行駛的路程和為快車車長!
② 慢車駛過快車某個窗口時：研究的是快車窗口的人和慢車車尾的人的相遇問題，此時行駛的路程和為慢車車長!
③ 快車從後面追趕慢車時：研究的是快車車尾的人追趕慢車車頭的人的追擊問題，此時行駛的路程和為兩車車長之和!
解：⑴ 兩車的速度之和=100÷5=20(米/秒)
慢車經過快車某一窗口所用的時間=150÷20=7.5(秒)
⑵ 設至少是x秒，(快車車速為20-8)
則 (20-8)X-8X=100+150
X=62.5
答：至少62.5秒快車從後面追趕上並全部超過慢車。
11.甲、乙兩人同時從A地前往相距25.5千米的B地，甲騎自行車，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米/時，甲先到達B地後，立即由B地返回，在途中遇到乙，這時距他們出發時已過了3小時。求兩人的速度。
解：設乙的速度是X千米/時，則
3X+3 (2X+2)=25.5×2
∴ X=5
2X+2=12
答：甲、乙的速度分別是12千米/時、5千米/時。
12.一艘船在兩個碼頭之間航行，水流的速度是3千米/時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭之間的距離。
解：設船在靜水中的速度是X千米/時，則
3×(X-3)=2×(X+3)
解得x=15 2×(X+3)=2×(15+3) =36(千米)
答：兩碼頭之間的距離是36千米。
13.小明在靜水中划船的速度為10千米/時，今往返於某條河，逆水用了9小時，順水用了6小時，求該河的水流速度。
解：設水流速度為x千米/時，
則9(10-X)=6(10+X)
解得X=2
答：水流速度為2千米/時
14.某船從A碼頭順流航行到B碼頭，然後逆流返行到C碼頭，共行20小時，已知船在靜水中的速度為7.5千米/時，水流的速度為2.5千米/時，若A與C的距離比A與B的距離短40千米，求A與B的距離。
解：設A與B的距離是X千米，(請你按下面的分類畫出示意圖，來理解所列方程)
① 當C在A、B之間時，X/(7.5+2.5)+40/(7.5-2.5)=20
解得x=120
② 當C在BA的延長線上時，
X/(7.5+2.5)+(X+X-40)/(7.5-2.5)=20
解得x=56
答：A與B的距離是120千米或56千米。
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