摘要：本文從簡單實用的角度論述了空間杯繫結構的幾何非線性 分析 理論 。文中分析了非線性有限元 方法 的求解過程，特彆強調決定幾何非線性收斂結果的關鍵 問題 ，即由節點位移增量 計算 單元的內力增量。通過引入隨轉坐標系，論述了平面和空間梁單元小應變變形時單元內力增量的計算問題。用本文方法可以分析大跨度橋樑結構的六位移大旋轉問題。並且用實橋算例進行了驗證。
關鍵詞：大跨度橋樑 幾何非線性 實用分析 非線性有限元 小應變理論 江陰 長江大橋
一.引言．
現代 大跨度橋樑等工程結構的柔性特徵已十分明顯，對於這些結構考慮幾何非線性的 影響 己必不可少。並且，計算機能力的大大提高也使得分析大型複雜結構的非線性問題成為可行。80年代國外對幾何非線性問題的 發展 已相當完善［1，2］，國內在這方面也做了不少的工作［4－6］
在工程結構幾何非線性分析中，按照 參考 構形的不同可分為TL（Total Lagranrian)法和UL（Updated Lagrangian)法[1]。後來，引入隨轉坐標系後又分別得出CR（Co-rotational)-TL法和CR－LU法[2,3]，在工程中UL（或CR-UL）法 應用 較多。以前的 文獻 大都對結構的幾何剛度矩陣進行了複雜而詳細的推導。從文中的分析可以發現，結構幾何剛度矩陣的精確與否並不實質性地影響疊代收斂的最終結果，求解幾何非線性問題的關鍵在於如何由節點位移增量準確地計算出單元的內力增量，而這一點以前文獻都沒有提到過。因此，本文的重點放在論述單元內力增量的計算上。
工程上很早就開始使用拖動坐標系來求解大跨度橋樑結構的大撓度問題，本文則把它應用到單元內力增量的計算中。從實質上說，這裡的拖動坐標系與上面提到的隨轉坐標系沒有區別。因此，在理論方法上， 目前 文中的方法可以歸類到CR－UL法。但由於本文重點不在於詳細介紹這種方法的理論體系，所以論述中均不再使用該名詞。本文的目的主要是通過簡化複雜的幾何非線性分析方法，推廣該方法在實際工程中的應用。
二、非線性商限元求解過程
對於工程結構的非線性問題，用有限元方法求解時的非線性平衡方程可寫成以下的一般形式：
Fs(δ）-P0（δ）=0（l）
其中，為節點的位移向量；Fs(δ)為結構的等效節點抗力向量，它隨節點位移及單元內力而變化；PO（δ）為外荷載作用的等效節點荷載向量，為方便起見，這裡暫時假定它不隨節點位移而變化。
由於式（l）中的等效節點抗力一般無法用節點位移顯式表示，故不可能直接對非線性平衡方程進行求解。但實際結構的整體切向剛度容易得到，所以通常應用Newton-Raphson疊代方法求解該問題。結構的整體切向剛度矩陣KT可表示如下
dPO＝KTdδ（2）
式中，KT＝KE十KG，其中KE為結構的整體彈性剛度矩陣，KG為幾何剛度矩陣。
用混合Newton－Raphson疊代方法求解結構非線性問題的基本過程如下：
(1）將等效節點荷載PO分成n步，ΔP0＝PO／n，計算並組集結構的整體切向剛度矩陣，進入加載步循環；
(2)求解節點位移增量；
(3)計算各單元內力增量，修正單元內力；
(4)更新節點坐標，計算節點不平衡力R；
(5)判斷節點不平衡力R是否小於允許值，如滿足條件，則進入下一個加載步；如不滿足條件，重新計算結構的整體切向剛度矩陣，用R代替ΔP0，回到第2步；
(6）全部加載步完成之後，結束。
從上述求解過程中可見，最為關鍵的一步是第3步，即由節點位移增量計算單元的內力增量。也可以說是由這一步決定了最終的收斂結果，以下將對此著重論述。其實結構的整體切向剛度矩陣對結果並無實質性的影響，修正的NetwRaphson方法正是利用這一點來節省疊代計算的時間。
以前的文獻對空間梁單元幾何剛度矩陣的推導方面論述較多，都建立在一些假定的基礎上，這裡就不詳細說明。考慮到結構的整體切向剛度矩陣精確與否並不改變最終結果，僅影響疊代收斂的速度，並且不是越精確的整體切向剛度矩陣疊代收斂越快。
三、小應變時單元內力增百計算
在一般情況下，工程結構的幾何非線性都屬於小應變大位移（大平移、大轉動）問題。對於這類問題，單元內力增量的計算比較簡單。平面梁單元是空間梁單元發展的基礎，故這裡先分析平面梁單元的情況。
平面梁單元在整體坐標系（OXY）下從t到t十Δt時刻的變形情況。定義隨轉坐標系（oxy）的原點固定在單元的一端（i端），x軸始終保持沿i→j的直線方向。可見，在隨轉坐標系中平面梁單元的自由度減少為三個（uxθiθj）。
從隨轉坐標系中的三個自由度可以看出，它們反映的是單元的真實變形情況，與單元所經歷的剛性位移無關。在用有限元方法求解非線性問題時，只要將單元尺寸劃分得適當小，整體坐標系下的小應變大位移問題在單元隨轉坐標系中就轉化為小應變小位移問題，這一點可從非線性連續介質力學給出證明。這樣，隨轉坐標系下的受力變形情況就可近似地接線性處理，單元內力增量的計算也就與線性情況一樣，這裡不再贅述。同時也正說明了工程中常用拖動坐標法計算平面結構大變形問題的正確性。
關鍵詞：大跨度橋樑 幾何非線性 實用分析 非線性有限元 小應變理論 江陰 長江大橋
一.引言．
現代 大跨度橋樑等工程結構的柔性特徵已十分明顯，對於這些結構考慮幾何非線性的 影響 己必不可少。並且，計算機能力的大大提高也使得分析大型複雜結構的非線性問題成為可行。80年代國外對幾何非線性問題的 發展 已相當完善［1，2］，國內在這方面也做了不少的工作［4－6］
在工程結構幾何非線性分析中，按照 參考 構形的不同可分為TL（Total Lagranrian)法和UL（Updated Lagrangian)法[1]。後來，引入隨轉坐標系後又分別得出CR（Co-rotational)-TL法和CR－LU法[2,3]，在工程中UL（或CR-UL）法 應用 較多。以前的 文獻 大都對結構的幾何剛度矩陣進行了複雜而詳細的推導。從文中的分析可以發現，結構幾何剛度矩陣的精確與否並不實質性地影響疊代收斂的最終結果，求解幾何非線性問題的關鍵在於如何由節點位移增量準確地計算出單元的內力增量，而這一點以前文獻都沒有提到過。因此，本文的重點放在論述單元內力增量的計算上。
工程上很早就開始使用拖動坐標系來求解大跨度橋樑結構的大撓度問題，本文則把它應用到單元內力增量的計算中。從實質上說，這裡的拖動坐標系與上面提到的隨轉坐標系沒有區別。因此，在理論方法上， 目前 文中的方法可以歸類到CR－UL法。但由於本文重點不在於詳細介紹這種方法的理論體系，所以論述中均不再使用該名詞。本文的目的主要是通過簡化複雜的幾何非線性分析方法，推廣該方法在實際工程中的應用。
二、非線性商限元求解過程
對於工程結構的非線性問題，用有限元方法求解時的非線性平衡方程可寫成以下的一般形式：
Fs(δ）-P0（δ）=0（l）
其中，為節點的位移向量；Fs(δ)為結構的等效節點抗力向量，它隨節點位移及單元內力而變化；PO（δ）為外荷載作用的等效節點荷載向量，為方便起見，這裡暫時假定它不隨節點位移而變化。
由於式（l）中的等效節點抗力一般無法用節點位移顯式表示，故不可能直接對非線性平衡方程進行求解。但實際結構的整體切向剛度容易得到，所以通常應用Newton-Raphson疊代方法求解該問題。結構的整體切向剛度矩陣KT可表示如下
dPO＝KTdδ（2）
式中，KT＝KE十KG，其中KE為結構的整體彈性剛度矩陣，KG為幾何剛度矩陣。
用混合Newton－Raphson疊代方法求解結構非線性問題的基本過程如下：
(1）將等效節點荷載PO分成n步，ΔP0＝PO／n，計算並組集結構的整體切向剛度矩陣，進入加載步循環；
(2)求解節點位移增量；
(3)計算各單元內力增量，修正單元內力；
(4)更新節點坐標，計算節點不平衡力R；
(5)判斷節點不平衡力R是否小於允許值，如滿足條件，則進入下一個加載步；如不滿足條件，重新計算結構的整體切向剛度矩陣，用R代替ΔP0，回到第2步；
(6）全部加載步完成之後，結束。
從上述求解過程中可見，最為關鍵的一步是第3步，即由節點位移增量計算單元的內力增量。也可以說是由這一步決定了最終的收斂結果，以下將對此著重論述。其實結構的整體切向剛度矩陣對結果並無實質性的影響，修正的NetwRaphson方法正是利用這一點來節省疊代計算的時間。
以前的文獻對空間梁單元幾何剛度矩陣的推導方面論述較多，都建立在一些假定的基礎上，這裡就不詳細說明。考慮到結構的整體切向剛度矩陣精確與否並不改變最終結果，僅影響疊代收斂的速度，並且不是越精確的整體切向剛度矩陣疊代收斂越快。
三、小應變時單元內力增百計算
在一般情況下，工程結構的幾何非線性都屬於小應變大位移（大平移、大轉動）問題。對於這類問題，單元內力增量的計算比較簡單。平面梁單元是空間梁單元發展的基礎，故這裡先分析平面梁單元的情況。
平面梁單元在整體坐標系（OXY）下從t到t十Δt時刻的變形情況。定義隨轉坐標系（oxy）的原點固定在單元的一端（i端），x軸始終保持沿i→j的直線方向。可見，在隨轉坐標系中平面梁單元的自由度減少為三個（uxθiθj）。
從隨轉坐標系中的三個自由度可以看出，它們反映的是單元的真實變形情況，與單元所經歷的剛性位移無關。在用有限元方法求解非線性問題時，只要將單元尺寸劃分得適當小，整體坐標系下的小應變大位移問題在單元隨轉坐標系中就轉化為小應變小位移問題，這一點可從非線性連續介質力學給出證明。這樣，隨轉坐標系下的受力變形情況就可近似地接線性處理，單元內力增量的計算也就與線性情況一樣，這裡不再贅述。同時也正說明了工程中常用拖動坐標法計算平面結構大變形問題的正確性。
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