教學目的：通過一些例題的講解 , 對對數函數的性質、圖象及二次函數的一些問題進行複習，使學生加深對函數的認識 , 能夠對一些有難度的題進行分析。教學難點：復合函數中定義域及值域的求解。 換元後新變量的定義域的確定。教學過程：在前段時間中我們學習了對數函數和它們的一些性質 , 下面我們就先來複習一下有關知識 ( 點擊性質 , 見幻燈片 2) 。 下面我們來做兩道複習鞏固題。 1. 求 的定義域。 （要求一個比較複雜的函數的定義域，首先要看清這個複雜函數是由哪幾個簡單函數構成的．在此是三個以十為底的對數函數，所以我們只要考慮其真數部分要大於０即可．由此可列出三個不等式．習慣上用大括號括起來，表示要同時滿足．） 分析： x>0 ０可以寫成 lg1 ，而該函數為單調遞增函數，由此可解出． 綜上所述 x>10 。 2. 試比較 與 的大小。 對於一般的比較大小問題，我們可以通過函數的增減性來解決．這道題目顯然也是通過此途徑來解決．但是其給出的條件不是很明確，那麼我們就只能先從對數函數本身的條件作為著手點． 解： 由這個條件，可以知道這個函數是單調遞增的，即真數大的函數值就大． （請學生口述，螢幕顯示．第三條可能不會考慮） 則有：當 x-1>3 即 x>4 時， ＞ 當 0<x-1<3 即 1<x<4 時， ＜ 當 x-1=3 即 x=4 時， ＝ 上面兩題主要是讓同學們在解決對數函數問題的時候，要看清起定義域，對於約束條件要寫完整同時要注意一些隱藏條件，細緻分析問題． 對於一般的對數函數中有關定義域、值域以及單調性問題我們能夠比較熟練的解決 , 但是我們在遇到的一些問題中往往對數函數不是單獨出現的 , 它總是和其他函數同時出現 , 特別是二次函數 , 那麼如何來解決這類比較複雜的問題呢 ? 這就是我們這節課所要講的內容。在講解例題之前我先強調一點 , 我們做任何題 , 不管是簡單的還是複雜的 , 關鍵的是抓住其基本性質 , 儘量把問題轉化到我們所熟悉的情況下進行解決。 那麼要把對數函數和二次函數結合起來 , 最常見的就是復合函數。下面就先來看這麼一道題 例 1 的單調遞增區間是（）。 A. B. C. D. 分析： 由於以 1/2 為底的對數函數是一個單調減函數，所以要求該函數的單調遞增區間，也就是要求該二次函數的單調遞減區間。下面我們就把問題轉化為解決二次函數的問題。對於該二次函數進行配方 , 我們可以很容易看出是一個開口向上的拋物線 , 則其在 x 小於－ 1/2 時為單調遞減， x 大於－ 1/2 時為單調遞增。 那麼該題是否到此為止了呢 ? 其實在此對於上面的二次函數是有範圍的，也就是說 即 x<-2 或 x>1 綜上所述，我們應該選擇Ｂ 好 , 我們來看一個一般問題 , 對於類似與上面這題的復合函數 的單調區間是怎樣的． 該二次函數圖象為一開口向上的拋物線。 若該拋物線與 x 軸有兩個交點 若該拋物線與 x 軸只有一個交點 若該拋物線與 x 軸沒有交點 若函數 的值域為一切實數 , 求實數 的取值範圍。 按照通常的做法，要使函數有意義，必須有： 對一切實數 x 都成立 ，即 其實當 時， 可以看出 可見值域並非為 R ，說明上述解答有誤。 要使函數 的值域為 R, 即要真數 取遍所有正數 , 故二次函數 的圖象與 x 軸有交點 , 所以 , 得 或 。 故實數 a 的取值範圍為 我們在考慮這類復合函數問題的時候 , 要仔細分析各函數的定義域和值域以及復合後的定義域和值域的變化。 以上這兩題中的二次函數是作為對數函數的一部分出現的 , 有的時候會和、反過來 , 對數函數作為二次函數的一部分出現 , 下面我們來看這麼幾道題。 若 , 且 , 求 的最值。 分析 : 既然是求 的最值 , 先對其整理 , 可得 : 而 。 這道題比較簡單 , 但要注意對數的計算 , 在最後是通過配方求出最值的。 若 有兩個小於 1 的正根 , 且 ，求實數 的取值範圍。 分析 : 既然是對數函數 , 我們先不管後面的條件 , 該怎麼做就怎麼做 , 即先化簡函數方程。 則有 由於形式有點複雜 , 我們可以作個代換 , 在此 , 要注意 , 由於變量的代換 , 則其定義域也會隨之改變 , 有 : x<1, 則 t<0 下面由學生回答如何利用韋達定理列出一系列的不等式 : 在此題中 , 注意換元後 , 其變量的定義域的變化。 若 恰有一個實根 , 求實數 的取值範圍。 分析 : 這個式子中出現的對數函數和前面的有所不同 , 但我們首先做的工作就是把它化簡 , 只是這裡和前面有所不同。前面是把真數部分的乘除化開來 , 而在這裡是把對數的加減合起來。先把它化簡我們可以得到 : 這時出現了同底對數 , 但右邊前面有 2, 所以我們可以怎麼樣 ? 我想把這個 2 除到左邊去 , 一方面是為了提醒大家 , 左邊的真數部分 2x 是大於 0 的 , 另一個作用我們下面會有用。於是我們得到了 : 下面就是分析方程 只有一個實數根的問題 如果在這裡簡單就認為把其平方得到一個二次函數 , 再令 即可的話 , 似乎總有點心有餘悸 , 好象有問題。下面我介紹一種方法來具體研究。 我們可以把這個方程寫成兩個函數的形式 : 與 要求方程有一個實根 , 也就是說 , 這兩個函數的圖形有且僅有一個交點。 在下圖上我們可以看出在三種情況下 , 兩個圖只有一個交點。 於是我們可以列出式子 : 最後解得 : 在這裡 , 我們充分利用了圖形來解決根的問題。 備用題 : 為常數 , 試分析方程 的解的情況。 小節 : 第一組為復合函數中有關定義域、值域的問題。注意兩點：一是復合函數單調性問題；另一個是整個函數的定義域的求解。 第二組為含有對數函數的複雜函數，通過換元可轉化為二次函數進行解題。也注意兩點：一是對數運算的熟練運用；另一個是二次函數中根的存在性分析。 在解決對數函數問題時，注意隱含的限制條件，對其定義域、值域要細緻分析。教學後記：由於是多媒體授課 , 在題目運算較為複雜的時候 , 過程直接出現在螢幕上 , 使學生沒有時間自己進行計算 , 今後的教學中應值得注意。
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