恆成立問題是高中數學中的一個熱點，而不等式更是高考的重點，有人說不等式恆成立問題是高考的興奮點，這不無道理.但此類問題解法靈活、綜合性強，部分學生常感到無從下手，茫然不知所措，那麼到底如何解決這類問題呢?實際上只要緊緊抓住這類問題求解中的幾個抓手，求不等式恆成立問題就會迎刃而解.本文試對這類問題作一些歸納和總結，以飧讀者.
1.抓解集
對於恆成立問題，不等式的解集雖是一把雙刃劍，它常會導致把不等式的解集與恆成立混為一談的錯誤，但如能搞清它們之間的聯繫與區別，就能把解集作為恆成立求解的突破口.
例1 關於x的不等式x+(m+1)x+m<0在［0，9)上恆成立，求實數m的取值範圍.
解析：原不等式等價於(x+1)(x+m)<0,
x≥0,即x<-m,
x≥0.當m≥0時，不等式解集為空集；當m<0時，原不等式解集為［0,m2)，若且唯若［0，9)［0,m2)且m<0時，原結論成立，即m2≥9且m<0，故m≤-3.
2.抓主元
在錯綜複雜的各種矛盾中，抓住了主要矛盾，就猶如抓住了一根主線，從而使次要矛盾迎刃而解.同樣地在數學問題中，多變元的干擾，常會使學生思維的頭緒，陷入眾多繁複的岔道中，剪不清，理還亂，而如若分清主次，抓住主元，則猶如抓住一根主線，一目了然.
例2 (2006•四川卷(文))已知函數f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的導函數，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0,求實數x的取值範圍.
解析：它表面上是一個給出參數a的範圍，解不等式g(x)<0的問題，事實並非如此.現把以x為變量的函數g(x)=3x2-ax+3a-5，改為以a為變量的函數，即以變量a為主元，令φ(a)=(3-x)a+3x2-5(-1≤a≤1)，則對-1≤a≤1，恆有g(x)<0，即φ(a)<0，從而轉化為對-1≤a≤1,φ(a)<0恆成立問題，又由φ(a)是a的一次函數，問題就容易解決了，只需φ(1)<0,
φ(-1)<0,即
3x2-x-2<0,
3x2+x-8<0,解方程組得-23 3.抓△
二次不等式是不等式問題中一種最常見的題型，解決這類問題有很多方法，但萬變不離其宗，其最根本的方法，還是利用二次式中的判別式△.
例3 若不等式-x2+2mx-2m-1<0,x∈［0，1］恆成立，求m的範圍.
解析：不等式要求在x∈［0，1］時恆成立，所以△<0僅是一個充分條件.按判別式討論，設f(x)=-x2+2mx-2m-1.
(1)△<0時，可解得1-2 (2)(Ⅰ)△≥0
f(0)<0
m<0或(Ⅱ)△≥0
f(1)<0
m>1解得-12-12.
4.抓分離
由函數極值思想可得，f(x)≥a恆成立a≤f(x)min;f(x)≤a恆成立a≥f(x)max.由此，此類問題可化歸為求函數最值或值域的 問題，利用這種方法，關鍵是將參數與未知數進行分離，因此叫分離參數法.
例4 在△ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(π4+B2)+cos2B，且|f(B)-m|<2恆成立，求實數m的取值範圍.
解析：由f(B)=2sinB［1-cos(π2+B)］+cos2B=2sinB+2sin2B+1-2sin2B=2sinB+1,∵0f(B)-2
m ∴m>1,
m≤3，即m∈(1，3］.
例5 (2000年日本大學入學試題)已知兩個函數f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x，其中k為實數.
(1)若對任意的x∈［-3，3］，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值範圍；
(2)若對任意的x1、x2∈［-3，3］，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值範圍.
解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,問題轉化為F(x)≥0在x∈［-3，3］上恆成立，為此只需F(x)在［-3，3］上的最小值F(x)min≥0即可.∵F′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2),由F′(x)=0得x=2或x=-1.∴F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,∴F(x)min=k-45,由k-45≥0，解得k≥45.
(2)由題意可知，當x∈［-3，3］時，都有f(x)max≤g(x)min.由F′(x)=16x+16=0得x=-1.∵f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k，f(3)=120-k,∴f(x)max=120-k,又由g′(x)=6x2+10x+4=0,得x=-1或x=-23,∵g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1,g(-23)=-2827,∴g(x)min=-21，則120-k≤-21，解得k≥141.
5.抓圖形
數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非，在不等式恆成立問題中，如若一時難以找出突破口，常可聯想到問題中涉及的函數圖像，以形助數，也許會有意想不到的收穫.
例6 已知a>0且a≠1，f(x)=x2-ax，當x∈(-1，1)時，有f(x)<12，試求實數a的取值範圍.
解析：本題其實也是一個恆成立問題，即函數f(x)<12在區間x∈(-1，1)中恆成立.由f(x)=x2-ax<12得x2-121時，只有a≤2才能保證，而0 6.抓特徵
不等式恆成立問題和不等式能成立問題，兩者形似質異，抓住它們的條件特徵，有利於準確解題.
例7 (2006全國卷Ⅱ文)設a∈R，二次函數f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集為A，B={x|1 解析：這是一個在不等式成立的前提下，求參數的範圍問題.題目的要求與大部分見到的題並不相同，這類題目在試題中出現最多的是不等式恆成立的問題，而本題卻是一個不等式能成立的問題，因為題目的條件是只要集合A，B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)>0在區間(1，3)有解就可以，這等價於f(x)max>0,在x∈(1，3)成立.
(1)當a<0時，因為f(x)的圖像的對稱軸1a<0,則對x∈(1，3)，f(1)最大 ，f(x)max=f(1)=a-2-2a>0a<-2.
(2)當a>0時，f(x)max=f(3)=7a-6>0a>67.於是，實數a的取值範圍是(-∞,-2)∪(67,+∞).
如果題目的條件不是A∩B≠
中國 ，而是BA，則就化為f(x)>0在區間(1，3)恆成立的問題了.
1.抓解集
對於恆成立問題，不等式的解集雖是一把雙刃劍，它常會導致把不等式的解集與恆成立混為一談的錯誤，但如能搞清它們之間的聯繫與區別，就能把解集作為恆成立求解的突破口.
例1 關於x的不等式x+(m+1)x+m<0在［0，9)上恆成立，求實數m的取值範圍.
解析：原不等式等價於(x+1)(x+m)<0,
x≥0,即x<-m,
x≥0.當m≥0時，不等式解集為空集；當m<0時，原不等式解集為［0,m2)，若且唯若［0，9)［0,m2)且m<0時，原結論成立，即m2≥9且m<0，故m≤-3.
2.抓主元
在錯綜複雜的各種矛盾中，抓住了主要矛盾，就猶如抓住了一根主線，從而使次要矛盾迎刃而解.同樣地在數學問題中，多變元的干擾，常會使學生思維的頭緒，陷入眾多繁複的岔道中，剪不清，理還亂，而如若分清主次，抓住主元，則猶如抓住一根主線，一目了然.
例2 (2006•四川卷(文))已知函數f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的導函數，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0,求實數x的取值範圍.
解析：它表面上是一個給出參數a的範圍，解不等式g(x)<0的問題，事實並非如此.現把以x為變量的函數g(x)=3x2-ax+3a-5，改為以a為變量的函數，即以變量a為主元，令φ(a)=(3-x)a+3x2-5(-1≤a≤1)，則對-1≤a≤1，恆有g(x)<0，即φ(a)<0，從而轉化為對-1≤a≤1,φ(a)<0恆成立問題，又由φ(a)是a的一次函數，問題就容易解決了，只需φ(1)<0,
φ(-1)<0,即
3x2-x-2<0,
3x2+x-8<0,解方程組得-23 3.抓△
二次不等式是不等式問題中一種最常見的題型，解決這類問題有很多方法，但萬變不離其宗，其最根本的方法，還是利用二次式中的判別式△.
例3 若不等式-x2+2mx-2m-1<0,x∈［0，1］恆成立，求m的範圍.
解析：不等式要求在x∈［0，1］時恆成立，所以△<0僅是一個充分條件.按判別式討論，設f(x)=-x2+2mx-2m-1.
(1)△<0時，可解得1-2 (2)(Ⅰ)△≥0
f(0)<0
m<0或(Ⅱ)△≥0
f(1)<0
m>1解得-12-12.
4.抓分離
由函數極值思想可得，f(x)≥a恆成立a≤f(x)min;f(x)≤a恆成立a≥f(x)max.由此，此類問題可化歸為求函數最值或值域的 問題，利用這種方法，關鍵是將參數與未知數進行分離，因此叫分離參數法.
例4 在△ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(π4+B2)+cos2B，且|f(B)-m|<2恆成立，求實數m的取值範圍.
解析：由f(B)=2sinB［1-cos(π2+B)］+cos2B=2sinB+2sin2B+1-2sin2B=2sinB+1,∵0f(B)-2
m ∴m>1,
m≤3，即m∈(1，3］.
例5 (2000年日本大學入學試題)已知兩個函數f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x，其中k為實數.
(1)若對任意的x∈［-3，3］，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值範圍；
(2)若對任意的x1、x2∈［-3，3］，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值範圍.
解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,問題轉化為F(x)≥0在x∈［-3，3］上恆成立，為此只需F(x)在［-3，3］上的最小值F(x)min≥0即可.∵F′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2),由F′(x)=0得x=2或x=-1.∴F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,∴F(x)min=k-45,由k-45≥0，解得k≥45.
(2)由題意可知，當x∈［-3，3］時，都有f(x)max≤g(x)min.由F′(x)=16x+16=0得x=-1.∵f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k，f(3)=120-k,∴f(x)max=120-k,又由g′(x)=6x2+10x+4=0,得x=-1或x=-23,∵g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1,g(-23)=-2827,∴g(x)min=-21，則120-k≤-21，解得k≥141.
5.抓圖形
數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非，在不等式恆成立問題中，如若一時難以找出突破口，常可聯想到問題中涉及的函數圖像，以形助數，也許會有意想不到的收穫.
例6 已知a>0且a≠1，f(x)=x2-ax，當x∈(-1，1)時，有f(x)<12，試求實數a的取值範圍.
解析：本題其實也是一個恆成立問題，即函數f(x)<12在區間x∈(-1，1)中恆成立.由f(x)=x2-ax<12得x2-121時，只有a≤2才能保證，而0 6.抓特徵
不等式恆成立問題和不等式能成立問題，兩者形似質異，抓住它們的條件特徵，有利於準確解題.
例7 (2006全國卷Ⅱ文)設a∈R，二次函數f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集為A，B={x|1 解析：這是一個在不等式成立的前提下，求參數的範圍問題.題目的要求與大部分見到的題並不相同，這類題目在試題中出現最多的是不等式恆成立的問題，而本題卻是一個不等式能成立的問題，因為題目的條件是只要集合A，B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)>0在區間(1，3)有解就可以，這等價於f(x)max>0,在x∈(1，3)成立.
(1)當a<0時，因為f(x)的圖像的對稱軸1a<0,則對x∈(1，3)，f(1)最大 ，f(x)max=f(1)=a-2-2a>0a<-2.
(2)當a>0時，f(x)max=f(3)=7a-6>0a>67.於是，實數a的取值範圍是(-∞,-2)∪(67,+∞).
如果題目的條件不是A∩B≠
中國 ，而是BA，則就化為f(x)>0在區間(1，3)恆成立的問題了.
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