安徽池州市東至縣東流中心學校（２４７２３０） 黃普慶
「數」和「形」是小學數學教學的研究對象，是貫穿小學數學教材的兩條主線。數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。在教學中合理運用數形結合策略，有助於從現實生活和具體情境中抽象出數學問題，有助於把複雜的數學問題變得簡明、形象，有助於探索解決問題的思路，有助於提高學生學習數學的興趣和應用意識。
一、數形結合，能化本於形，有助於建立概念模型
有效建立抽象的數學概念與形象的圖形之間的聯繫，把數和形結合起來，並用恰當的圖形把數學概念中最本質的屬性演示出來，有利於豐富學生的感性認識，幫助他們主動建構表象。
如教學「面積的意義」，先讓學生看、摸、比身邊的物體的面，初步感知面積的意義，然後課件呈現幾個規則和不規則的平面圖形，讓他們把周長描成紅色，把面積塗上綠色，最後通過觀察比較，可以輕鬆地建構面積概念，並很容易抓住「周長是線，面積是面」的本質，從而正確區分面積和周長這兩個容易混淆的概念。再如教學「體積的意義」，為使學生理解「物體所占空間的大小」，先給學生呈現滿滿的一杯沙子，然後將一個正方體木塊放進杯子裡，結果放不進去，如果放進去了，沙子就會溢出來。通過實驗，使學生明白，這裡的沙子和正方體都占有一定的空間，它們所占空間的大小就是它們的體積。這樣本來是學生很難理解的一個概念，尤其是「什麼是空間，它的大小又是怎樣比較的？」這個問題，通過簡單的實物演示，就讓學生很容易理解了。這樣藉助學生熟知的能夠觸摸和直接感知的有形物體，能幫助學生形成鮮明的表象，再讓他們通過觀察、比較、分析、抽象、概括，從而建構概念。
二、數形結合，能化難為易，有助於尋求數量關係
數形結合可以使數量關係的精確性與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，用正確的方式畫圖表達出題意，可以達到把題目的抽象敘述變為直觀呈現，達到化繁為簡、化難為易的目的，從而使問題迎刃而解。
如「兩個數相乘，如果一個因數增加３，另一個因數不變，那麼積增加１８；如果一個因數不變，另一個因數增加４，那麼積就增加２００。問原來的積是多少？」這道題很多學生在讀完題後都束手無策，原因是在兩個因數都不知道的前提下，學生不知道怎麼求這兩個數的積是多少。實際上如果引導學生根據積的變化規律去思考，就有部分學生能發現：這一題中積增加１８是因為增加了３個第二個因數，所以第二個因數就是１８÷３＝６；而積增加２００是因為增加了４個第一個因數，所以第一個因數就是２００÷４＝５０；由此得出原來的積是５０×６＝３００。但仍然會有相當一部分學生還是處於半懂半不懂的狀態，此時可引導學生換個角度思考，先假設這兩個數分別是長方形的長和寬，就可得出它們的乘積就是這個長方形的面積，然後得出：長增加３，寬不變，這個長方形的面積增加１８；長不變，寬增加４，面積增加２００，得出圖1。然後引導學生觀察圖1中兩個增加部分分別是什麼形狀？它們的「長」分別是多少？它們的「長」跟原來長方形的長和寬有什麼關係？這樣，學生就很輕鬆地得出：要求原來長方形的面積（兩個數的積），可以先根據寬不變，長增加３，面積增加１８，用１８÷３求出寬是６；再根據長不變，寬增加４，面積增加２００，用２００÷４求出長是５０；最後用５０×６＝３００求出長和寬的積，也就是兩個數的積。由此可見，數學上的「數」和「形」是密不可分的，只要運用得當，有時會收到意想不到的效果。
三、數形結合，能化隱於明，有助於發現事物規律
如「找規律」中的「一一間隔排列」，教材例題只給學生呈現出「生活中的兩種物體一一間隔排列，且兩端物體相同」的現象，學生很容易就發現了這兩種物體個數之間的關係。這是因為他們對生活中的這些現象本身就很熟悉，並已具備一定的認知經驗。但對於其他的一些變式現象，如：同樣的一一間隔排列，如果兩端的物體不一樣，那這兩種物體的個數之間的關係是怎樣的？將這種排列現象化直為曲，圍成封閉的一圈，這兩種物體的個數之間的關係又是怎樣的？這些隱含的規律，學生就不易掌握。作為教師，可以把握時機，藉助圖形，為學生呈現這兩種排列現象，讓他們觀察、比較、分析、概括，他們不僅能很好地掌握這類排列現象隱含的規律，而且從中能獲得不一樣的體驗，從而明確，解決生活中的問題一定要立足於生活實際，不能一概而論。
數形結合，把要解決的有關數學規律藉助圖象表現出來，不僅可以將一些生活現象隱含的規律置於明處，幫助學生更好地探究、發現、理解數學規律，而且通過對圖象的解讀、分析，可以進一步提升學生自主學習的能力，為後面的學習積累一定的學習經驗。
四、數形結合，能化教為學，有助於培養求異創新
陶行知說：「處處是創造之地，天天是創造之時，人人是創造之人。」在數學教學活動中，通過數與形的結合，不僅可以將一些難以敘述的語言簡明化、形象化，使人一目了然，而且可以給枯燥的數學學習帶來一些樂趣，喚起學生探究的熱情，使他們願意從不同的角度、不同的方向去思考問題，從而養成多向性思維的好習慣。
如「三角形面積公式的推導」，在教學中，教師一般只注重引導學生將兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，然後由平行四邊形的面積公式推導出三角形的面積公式。而對於其他的方法，教師一般都隻字不提，或是因為課堂時間的關係，或是因為難度較大，難以向學生講清楚。實際上對於多種三角形的面積計算方法，完全可以在課前布置學生回家自己去探究。我在上這一節課時，前一天就給學生布置一個任務：回家想想有哪些辦法可以將三角形變成我們可以計算面積的平面圖形，到第二天再在班上說給大家聽。結果第二天，在組織學生探究三角形的面積計算方法時，他們給出的答案有些真是出乎我的意料，但當我讓他們說說自己具體的做法或依據時，他們說了半天也說不清楚，於是我就讓他們動手展示自己的做法，藉助圖形的演示，他們很輕鬆就明白了。「授人以魚，不如授之以漁」，教師教得再好不如學生自己發現好，更不如創造性的發現來得好。
五、數形結合，能化繁為簡，有助於優化解題思路
「數形結合」是重要的解決問題的策略之一。藉助圖形，可以化繁為簡，即把繁難的題目轉化成簡單的題目，把抽象的題目轉化為具體的題目，它對解決問題有迎刃而解的妙處，同時還可以向學生滲透優化的思想。
再如「一個圓柱的側面積是３１４平方厘米，底面半徑是５厘米，求這個圓柱的體積。」學生一般都是先求圓柱的高３１４÷（３．１４×５×２）＝１０（厘米），然後計算圓柱的體積３．１４×５２×１０＝７８５（立方厘米）。如此列式，在現行小學階段，可以說是相當複雜的了。換個角度思考，藉助圖形演示，引導學生把這個圓柱體的底面沿直徑等分成若干扇形，並切割圓柱體，然後把切開的圓柱體拼成近似的長方體，平放於前。學生就會發現這個長方體的底面積是圓柱側面積的一半，高就是圓柱底面的半徑，因此它的體積可以直接運用「３１４÷２×５＝７８５（立方厘米）」求出，既方便又快捷，並由此引導學生得出「圓柱的側面積÷２×半徑＝圓柱的體積」，反之「圓柱的體積÷半徑×２＝圓柱的側面積」。
六、數形結合，能形成思想方法，有助於煥發數學生命力
課程標準指出「數學思想要體現螺旋上升的原則。」小學數學不僅應傳授給學生數學知識，更重要的是培養學生的數學思想方法。布魯納曾說：掌握基本的數學思想方法，能使數學更易於理解和記憶，領會基本的數學思想方法是通向遷移大道的「光明之路」。
數形結合是一種數學思想，它貫穿於數學教學的各個領域。「數」能解「形」，「形」能輔「數」，兩者有效結合，往往能使看上去比較難的問題簡單化、明朗化，收到意想不到的效果。但要想幫助學生牢固樹立數形結合的思想，培養學生主動運用數形結合的方法去解題的意識，並不是一兩天、一兩個月，或是一兩個單元教學所能達到的。作為教師，只有在平時的教學實踐中，立足於教學內容和學生實際，挖掘教材中可以運用數形結合思想方法的知識，合理利用數形相結合的方法教學，同時，將數學與生活中的事物聯繫起來，將學生熟悉的生活事物與數學知識結合起來，從而使學生更容易掌握和運用。經過反覆的實踐、不斷的滲透、不斷的積累，學生就會慢慢樹立數形結合思想，並體驗到這種思想帶來的好處，他們才願意並主動運用這種思想和方法去解決問題。
我國著名數學家華羅庚曾說過：「數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非。」總之，要使數形結合的方法更好地為教學服務，只有從數學發展的全局著眼，從具體的教學過程著手，讓數形結合思想方法教學成為一種有意識的教學活動，並落到實處。
（責編 金 鈴）
「數」和「形」是小學數學教學的研究對象，是貫穿小學數學教材的兩條主線。數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。在教學中合理運用數形結合策略，有助於從現實生活和具體情境中抽象出數學問題，有助於把複雜的數學問題變得簡明、形象，有助於探索解決問題的思路，有助於提高學生學習數學的興趣和應用意識。
一、數形結合，能化本於形，有助於建立概念模型
有效建立抽象的數學概念與形象的圖形之間的聯繫，把數和形結合起來，並用恰當的圖形把數學概念中最本質的屬性演示出來，有利於豐富學生的感性認識，幫助他們主動建構表象。
如教學「面積的意義」，先讓學生看、摸、比身邊的物體的面，初步感知面積的意義，然後課件呈現幾個規則和不規則的平面圖形，讓他們把周長描成紅色，把面積塗上綠色，最後通過觀察比較，可以輕鬆地建構面積概念，並很容易抓住「周長是線，面積是面」的本質，從而正確區分面積和周長這兩個容易混淆的概念。再如教學「體積的意義」，為使學生理解「物體所占空間的大小」，先給學生呈現滿滿的一杯沙子，然後將一個正方體木塊放進杯子裡，結果放不進去，如果放進去了，沙子就會溢出來。通過實驗，使學生明白，這裡的沙子和正方體都占有一定的空間，它們所占空間的大小就是它們的體積。這樣本來是學生很難理解的一個概念，尤其是「什麼是空間，它的大小又是怎樣比較的？」這個問題，通過簡單的實物演示，就讓學生很容易理解了。這樣藉助學生熟知的能夠觸摸和直接感知的有形物體，能幫助學生形成鮮明的表象，再讓他們通過觀察、比較、分析、抽象、概括，從而建構概念。
二、數形結合，能化難為易，有助於尋求數量關係
數形結合可以使數量關係的精確性與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，用正確的方式畫圖表達出題意，可以達到把題目的抽象敘述變為直觀呈現，達到化繁為簡、化難為易的目的，從而使問題迎刃而解。
如「兩個數相乘，如果一個因數增加３，另一個因數不變，那麼積增加１８；如果一個因數不變，另一個因數增加４，那麼積就增加２００。問原來的積是多少？」這道題很多學生在讀完題後都束手無策，原因是在兩個因數都不知道的前提下，學生不知道怎麼求這兩個數的積是多少。實際上如果引導學生根據積的變化規律去思考，就有部分學生能發現：這一題中積增加１８是因為增加了３個第二個因數，所以第二個因數就是１８÷３＝６；而積增加２００是因為增加了４個第一個因數，所以第一個因數就是２００÷４＝５０；由此得出原來的積是５０×６＝３００。但仍然會有相當一部分學生還是處於半懂半不懂的狀態，此時可引導學生換個角度思考，先假設這兩個數分別是長方形的長和寬，就可得出它們的乘積就是這個長方形的面積，然後得出：長增加３，寬不變，這個長方形的面積增加１８；長不變，寬增加４，面積增加２００，得出圖1。然後引導學生觀察圖1中兩個增加部分分別是什麼形狀？它們的「長」分別是多少？它們的「長」跟原來長方形的長和寬有什麼關係？這樣，學生就很輕鬆地得出：要求原來長方形的面積（兩個數的積），可以先根據寬不變，長增加３，面積增加１８，用１８÷３求出寬是６；再根據長不變，寬增加４，面積增加２００，用２００÷４求出長是５０；最後用５０×６＝３００求出長和寬的積，也就是兩個數的積。由此可見，數學上的「數」和「形」是密不可分的，只要運用得當，有時會收到意想不到的效果。
三、數形結合，能化隱於明，有助於發現事物規律
如「找規律」中的「一一間隔排列」，教材例題只給學生呈現出「生活中的兩種物體一一間隔排列，且兩端物體相同」的現象，學生很容易就發現了這兩種物體個數之間的關係。這是因為他們對生活中的這些現象本身就很熟悉，並已具備一定的認知經驗。但對於其他的一些變式現象，如：同樣的一一間隔排列，如果兩端的物體不一樣，那這兩種物體的個數之間的關係是怎樣的？將這種排列現象化直為曲，圍成封閉的一圈，這兩種物體的個數之間的關係又是怎樣的？這些隱含的規律，學生就不易掌握。作為教師，可以把握時機，藉助圖形，為學生呈現這兩種排列現象，讓他們觀察、比較、分析、概括，他們不僅能很好地掌握這類排列現象隱含的規律，而且從中能獲得不一樣的體驗，從而明確，解決生活中的問題一定要立足於生活實際，不能一概而論。
數形結合，把要解決的有關數學規律藉助圖象表現出來，不僅可以將一些生活現象隱含的規律置於明處，幫助學生更好地探究、發現、理解數學規律，而且通過對圖象的解讀、分析，可以進一步提升學生自主學習的能力，為後面的學習積累一定的學習經驗。
四、數形結合，能化教為學，有助於培養求異創新
陶行知說：「處處是創造之地，天天是創造之時，人人是創造之人。」在數學教學活動中，通過數與形的結合，不僅可以將一些難以敘述的語言簡明化、形象化，使人一目了然，而且可以給枯燥的數學學習帶來一些樂趣，喚起學生探究的熱情，使他們願意從不同的角度、不同的方向去思考問題，從而養成多向性思維的好習慣。
如「三角形面積公式的推導」，在教學中，教師一般只注重引導學生將兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，然後由平行四邊形的面積公式推導出三角形的面積公式。而對於其他的方法，教師一般都隻字不提，或是因為課堂時間的關係，或是因為難度較大，難以向學生講清楚。實際上對於多種三角形的面積計算方法，完全可以在課前布置學生回家自己去探究。我在上這一節課時，前一天就給學生布置一個任務：回家想想有哪些辦法可以將三角形變成我們可以計算面積的平面圖形，到第二天再在班上說給大家聽。結果第二天，在組織學生探究三角形的面積計算方法時，他們給出的答案有些真是出乎我的意料，但當我讓他們說說自己具體的做法或依據時，他們說了半天也說不清楚，於是我就讓他們動手展示自己的做法，藉助圖形的演示，他們很輕鬆就明白了。「授人以魚，不如授之以漁」，教師教得再好不如學生自己發現好，更不如創造性的發現來得好。
五、數形結合，能化繁為簡，有助於優化解題思路
「數形結合」是重要的解決問題的策略之一。藉助圖形，可以化繁為簡，即把繁難的題目轉化成簡單的題目，把抽象的題目轉化為具體的題目，它對解決問題有迎刃而解的妙處，同時還可以向學生滲透優化的思想。
再如「一個圓柱的側面積是３１４平方厘米，底面半徑是５厘米，求這個圓柱的體積。」學生一般都是先求圓柱的高３１４÷（３．１４×５×２）＝１０（厘米），然後計算圓柱的體積３．１４×５２×１０＝７８５（立方厘米）。如此列式，在現行小學階段，可以說是相當複雜的了。換個角度思考，藉助圖形演示，引導學生把這個圓柱體的底面沿直徑等分成若干扇形，並切割圓柱體，然後把切開的圓柱體拼成近似的長方體，平放於前。學生就會發現這個長方體的底面積是圓柱側面積的一半，高就是圓柱底面的半徑，因此它的體積可以直接運用「３１４÷２×５＝７８５（立方厘米）」求出，既方便又快捷，並由此引導學生得出「圓柱的側面積÷２×半徑＝圓柱的體積」，反之「圓柱的體積÷半徑×２＝圓柱的側面積」。
六、數形結合，能形成思想方法，有助於煥發數學生命力
課程標準指出「數學思想要體現螺旋上升的原則。」小學數學不僅應傳授給學生數學知識，更重要的是培養學生的數學思想方法。布魯納曾說：掌握基本的數學思想方法，能使數學更易於理解和記憶，領會基本的數學思想方法是通向遷移大道的「光明之路」。
數形結合是一種數學思想，它貫穿於數學教學的各個領域。「數」能解「形」，「形」能輔「數」，兩者有效結合，往往能使看上去比較難的問題簡單化、明朗化，收到意想不到的效果。但要想幫助學生牢固樹立數形結合的思想，培養學生主動運用數形結合的方法去解題的意識，並不是一兩天、一兩個月，或是一兩個單元教學所能達到的。作為教師，只有在平時的教學實踐中，立足於教學內容和學生實際，挖掘教材中可以運用數形結合思想方法的知識，合理利用數形相結合的方法教學，同時，將數學與生活中的事物聯繫起來，將學生熟悉的生活事物與數學知識結合起來，從而使學生更容易掌握和運用。經過反覆的實踐、不斷的滲透、不斷的積累，學生就會慢慢樹立數形結合思想，並體驗到這種思想帶來的好處，他們才願意並主動運用這種思想和方法去解決問題。
我國著名數學家華羅庚曾說過：「數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非。」總之，要使數形結合的方法更好地為教學服務，只有從數學發展的全局著眼，從具體的教學過程著手，讓數形結合思想方法教學成為一種有意識的教學活動，並落到實處。
（責編 金 鈴）
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