經濟問題中的數學建模應用
摘 要：微分方程是一類應用十分廣泛而且常見的數學模型。它在經濟學、管理學和物理學中有著重要的輔助研究作用。在經濟學中，通過數學建模把經濟問題所涉及的重要特徵進行合理的數學轉化，即用數學語言對經濟學中複雜、抽象問題進行表述，將實際問題與數學緊密的結合起來。
關鍵詞：微分方程；數學建模；邏輯斯諦方程；銷售曲線
中圖分類號：F347 文獻標識碼：A
微分方程研究範圍廣、歷史悠久，在牛頓和萊布尼茨創造微分和積分運算時指出了它們的互逆性，事實上這是解決了最簡單的微分方程 y┡=f（x）的求解問題。當人們運用微分去解決經濟學中的問題時，發現其對經濟問題所做的定性分析和定量分析是嚴謹的、可信的，因此大量的微分方程湧現出來。現如今，微分方程在經濟學和管理學等方面得到越來越廣泛的應用。
一、邏輯斯諦方程
邏輯斯諦方程是一種非線性的微分方程，它的數學模型屬於一條連續的、單調遞增的、單參數k為上漸近線的S型曲線。眾所周知，經濟學上存在著大量的S型變化的現象，而邏輯斯諦方程是可以描述這種變化的數學模型，其特點是一開始增長較慢，中間段增長速度較快，以後的增長速度下降並趨於穩定。在經濟學中，如果問題的基本特徵為在時間t很小時，呈指數型增長，而當t不斷增大，增長速度卻隨之下降，且越來越接近一個確定的值時，可以考慮運用邏輯斯諦方程加以解決。
利用邏輯斯諦方程的思想可以很好地分析一些經濟問題，例如新產品在市場中的發展。根據邏輯斯諦方程可以建立一個新產品的推廣模型。例如：某種新產品問世，t時刻的銷量為f（t），由於產品屬於新型產品，沒有可替代的產品，因此t時刻產品銷售量的增長率與f（x）成正比。同時，產品的銷售量存在著一定的市場容量N，統計表明，與尚未購買的此新產品的潛在客戶數量N-f（x）也呈正比，於是有=kx（N-x）符合邏輯斯諦方程的模型， 於是有通解：
=kx（N-x）
其中k為比例係數，分離變量積分, 可以解得
x（t）=
由=,=
當x（t*）0,即銷量x（t）單調增加. 當x（t*）=時,=0;當x（t*）>時, <0;當x（t*）<時，>0，即當銷售量大於需求量的一半時，產品最暢銷。當銷售不足一半時，銷售速度將不斷的增大。同理，銷售量達到一半時，銷售速度則不斷減少。
許多產品的銷售曲線都和邏輯斯諦方程曲線十分的相近。所以，分析家認為，當產品推出的初期應小批量生產；當產品用戶在20％－80％之間時，產品應該大批量的生產；但當產品的用戶超過80％時，企業應該研發新的產品。
二、收入與債務的問題
目前，歐債美債危機使大家對經濟的發展前景十分擔憂。一個國家債務過多，其所需支付的利息超過了該國的國民收入時，該國會出現破產。那麼持續財政赤字的國家會出現破產這個現象嗎？國民收入與國家債務問題能否轉化為微分方程去進行分析呢？當然可以。利用微分方程可以很好地體現一個國家的國民收入與其債務問題。
令D（t）表示國債在時刻t的美元價值，Y（t）表示時刻t國民收入。假定所有變量都以實際美元標價，從而去掉通貨膨脹因素。同時假定赤字（定義為一個等於支出減去收入的正值）為任何時點國民收入的常數比例。由於債務變化恰好是赤字，則有
D=by,b>0（一般，許多國家的b值 介於0.02和0.08之間，這意味著赤字大約相當於國民收入的2%~8%）
同時進一步假定，國民收入隨時間的增長滿足如下微分方程：
Y=gY g為正常數（表示國民收入的增長率）。
上述兩個方程一起構成了國債積累模型。為了分析該模型所蘊含的利息支付與國民收入長期比值之間的關係，我們需要求解這兩個方程。該方程可以重新改寫成
摘 要：微分方程是一類應用十分廣泛而且常見的數學模型。它在經濟學、管理學和物理學中有著重要的輔助研究作用。在經濟學中，通過數學建模把經濟問題所涉及的重要特徵進行合理的數學轉化，即用數學語言對經濟學中複雜、抽象問題進行表述，將實際問題與數學緊密的結合起來。
關鍵詞：微分方程；數學建模；邏輯斯諦方程；銷售曲線
中圖分類號：F347 文獻標識碼：A
微分方程研究範圍廣、歷史悠久，在牛頓和萊布尼茨創造微分和積分運算時指出了它們的互逆性，事實上這是解決了最簡單的微分方程 y┡=f（x）的求解問題。當人們運用微分去解決經濟學中的問題時，發現其對經濟問題所做的定性分析和定量分析是嚴謹的、可信的，因此大量的微分方程湧現出來。現如今，微分方程在經濟學和管理學等方面得到越來越廣泛的應用。
一、邏輯斯諦方程
邏輯斯諦方程是一種非線性的微分方程，它的數學模型屬於一條連續的、單調遞增的、單參數k為上漸近線的S型曲線。眾所周知，經濟學上存在著大量的S型變化的現象，而邏輯斯諦方程是可以描述這種變化的數學模型，其特點是一開始增長較慢，中間段增長速度較快，以後的增長速度下降並趨於穩定。在經濟學中，如果問題的基本特徵為在時間t很小時，呈指數型增長，而當t不斷增大，增長速度卻隨之下降，且越來越接近一個確定的值時，可以考慮運用邏輯斯諦方程加以解決。
利用邏輯斯諦方程的思想可以很好地分析一些經濟問題，例如新產品在市場中的發展。根據邏輯斯諦方程可以建立一個新產品的推廣模型。例如：某種新產品問世，t時刻的銷量為f（t），由於產品屬於新型產品，沒有可替代的產品，因此t時刻產品銷售量的增長率與f（x）成正比。同時，產品的銷售量存在著一定的市場容量N，統計表明，與尚未購買的此新產品的潛在客戶數量N-f（x）也呈正比，於是有=kx（N-x）符合邏輯斯諦方程的模型， 於是有通解：
=kx（N-x）
其中k為比例係數，分離變量積分, 可以解得
x（t）=
由=,=
當x（t*）0,即銷量x（t）單調增加. 當x（t*）=時,=0;當x（t*）>時, <0;當x（t*）<時，>0，即當銷售量大於需求量的一半時，產品最暢銷。當銷售不足一半時，銷售速度將不斷的增大。同理，銷售量達到一半時，銷售速度則不斷減少。
許多產品的銷售曲線都和邏輯斯諦方程曲線十分的相近。所以，分析家認為，當產品推出的初期應小批量生產；當產品用戶在20％－80％之間時，產品應該大批量的生產；但當產品的用戶超過80％時，企業應該研發新的產品。
二、收入與債務的問題
目前，歐債美債危機使大家對經濟的發展前景十分擔憂。一個國家債務過多，其所需支付的利息超過了該國的國民收入時，該國會出現破產。那麼持續財政赤字的國家會出現破產這個現象嗎？國民收入與國家債務問題能否轉化為微分方程去進行分析呢？當然可以。利用微分方程可以很好地體現一個國家的國民收入與其債務問題。
令D（t）表示國債在時刻t的美元價值，Y（t）表示時刻t國民收入。假定所有變量都以實際美元標價，從而去掉通貨膨脹因素。同時假定赤字（定義為一個等於支出減去收入的正值）為任何時點國民收入的常數比例。由於債務變化恰好是赤字，則有
D=by,b>0（一般，許多國家的b值 介於0.02和0.08之間，這意味著赤字大約相當於國民收入的2%~8%）
同時進一步假定，國民收入隨時間的增長滿足如下微分方程：
Y=gY g為正常數（表示國民收入的增長率）。
上述兩個方程一起構成了國債積累模型。為了分析該模型所蘊含的利息支付與國民收入長期比值之間的關係，我們需要求解這兩個方程。該方程可以重新改寫成
收藏