在各類考試中，有學生認為最坑的題是那種，一看到題就覺得好簡單呀，這不送分題嗎，然後非常開心的就掉進了坑裡，最關鍵的是掉進坑裡還全然不知，覺得坑裡賊舒服，因為自認為把分輕鬆拿到了手。下面結合一些學霸評出很坑的四類幾何題，筆者作點評，期待你有所思考認識，避免下次再入坑。
第一類"坑" 有題目，無圖形
題目中沒有圖，需要自己畫出圖，圖形畫法不唯一，這類問題往往需要分類討論，這類題極易漏解而使解答錯誤。
1．（2019秋·南崗區期末）已知：在同一個平面內，AB⊥CD，垂足為O，OE平分∠AOC，∠BOF＝30°，則∠EOF的度數為_______度．
【解析】分兩種情況：①射線OF在∠BOC內部；②射線OF在∠BOD內部．
∵AB⊥CD，垂足為O，∴∠AOC＝∠COB＝90°，
∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE＝1/2∠AOC＝45°．
分兩種情況：
①如圖1，射線OF在∠BOC內部時，
∵∠AOE＝45°，∠BOF＝30°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF＝105°；
②如圖2，射線OF在∠BOD內部時，
∵∠COE＝45°，∠COB＝90°，∠BOF＝30°，
∴∠EOF＝∠COE+∠COB+∠BOF＝165°．
故答案為105或165．
2．（2019秋·衛輝市期末）已知∠A和∠B的兩邊分別平行，若∠A＝71°22"，則∠B＝ ______．
【解析】∵∠A的兩邊與∠B的兩邊分別平行，∠A＝71°22′，
∴∠A+∠B＝180°或∠A＝∠B，
∴∠B＝108°38′或71°22′．
故答案為：108°38′或71°22′．
3．（2019秋·大窪區期末）已知△ABC中，AH⊥BC，垂足為H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝80°，則∠BAC＝______-．
【解析】當∠ABC為銳角時，過點A作AD＝AB，交BC於點D，如圖1所示．
∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABH＝80°，BH＝DH．
∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，
∴CD＝AB＝AD，∴∠C＝1/2∠ADB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝60°．
當∠ABC為鈍角時，如圖2所示．
∵AB+BH＝CH，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝1/2∠ABH＝40°．
故答案為：60°或40°．
4．（2019秋·蜀山區期末）在△ABC中，D、E是邊BC上的兩點，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，則∠BAC的度數是_______．
【解析】如圖1，∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C﹣∠DAE＝180°，則2（∠B+∠C）＝220°，
解得，∠B+∠C＝110°，∴∠BAC＝70°，
∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE＝180°，
則2（∠B+∠C）＝140°，解得，∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝110°，
故答案為：70°或110°．
第二類"坑" 忽略關鍵字詞
也有這麼一類題目，我們會忽略題目中的關鍵字眼，做題時審題時一定要仔細，尤其要注意一些重要的關鍵字眼，不要以為是"容易題""陳題"就一眼帶錯，要注意"陳題"中可能有"新意"。也不要一眼看上去認為是"新題、難題"就畏難而放棄，要知道"難題"也只難在一點，"新題"只新在一處。由於疏忽看錯題或畏難輕易放棄都會造成很大的遺憾。
5．（2019秋·克東縣期末）已知線段AB＝10cm，點C在直線AB上，且BC＝2cm，若點M是線段AB的中點，點N是線段BC的中點，則線段MN的長為______．
【解析】∵M是AB的中點，N是BC的中點，
∴BM＝1/2AB＝1/2×10＝5cm，BN＝1/2BC＝1/2×2＝1cm，
如圖1，線段BC不在線段AB上時，MN＝BM+BN＝5+1＝6cm，
如圖2，線段BC在線段AB上時，MN＝BM﹣BN＝5﹣1＝4cm，
綜上所述，線段MN的長度是6cm或4cm．
故答案為：6cm或4cm．
6．（2019秋·成都期末）在△ABC中，∠ACB＝50°，CE為△ABC的角平分線，AC邊上的高BD與CE所在的直線交於點F，若∠ABD：∠ACF＝3：5，則∠BEC的度數為_______．
【解析】①如圖1中，當高BD在三角形內部時，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝50°，∴∠ACE＝∠ECB＝25°，
∵∠ABD：∠ACF＝3：5，∴∠ABD＝15°，
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠CBD＝40°，
∴∠CBE＝∠CBD+∠ABD＝40°+15°＝55°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠CBE＝180°﹣25°﹣55°＝100°
②如圖2中，當高BD在△ABC外時，
同法可得：∠ABD＝25°，∠ABD＝15°，∠CBD＝40°，
∴∠CBE＝∠CBD﹣∠ABD＝40°﹣15°＝25°，
∴∠BEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
綜上所述，∠BEC＝100°或130°，故答案為100°或130°．
7．（2019秋·肥城市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是邊AB上的一點，AD＝1，E是邊AC上的一點（E與端點不重合），如果以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，那麼AE的長是_______．
【解析】分兩種情況，由相似三角形的性質可求解．
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴由勾股定理可求得AB＝5，
∵A，D，E三點組成的三角形與△ABC相似，
∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴AB/AD=AC/AE，或AB/AE=AC/AD，
∴5/1=4/AE或5/AE=4/1，解得：AE＝4/5或AE＝5/4，
故答案為：4/5或5/4.
變式1.（2019秋·淅川縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，點D、E分別是邊AB，BC上的點，連結DE，將△BDE沿DE翻折得到△FDE，點B的對稱點F恰好落在邊AC上，若以點C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似，則BE的長為______.
【解析】∵將△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，
∵BC＝4，∴CE＝4﹣BE，
∵以點C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似，
∴CE/BC=EF/AB或CE/AC=EF/AB，即/4或/3=BE/3，
解得：BE＝12/7或2，
故答案為：12/7或2．
變式2（2019秋·港閘區校級月考）如圖，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在邊AB上取點P，使得△PAD與△PBC相似，則滿足條件的AP長為________-．
【解答】∵∠A＝∠B＝90°
①若△APD∽△BPC,則AP/BP=AD/BC,
∴AP/=2/3,解得AP＝2.8．
②若△APD∽△BCP,則AP/BC=AD/BP,
∴AP/3=2/,解得AP＝1或6．
∴則滿足條件的AP長為2.8或1或6．故答案為：2.8或1或6．
第三類"坑"最值問題轉化
平面幾何圖形中的最值問題是近幾年中考常見的題型，此類問題常讓學生無從下手，讓學生真正頭疼的題目，往往出現在填空選擇等的壓軸題中，得分率很低，是實實在在的"坑"題。幾何最值問題常涉及到原理:兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊，其中包含了數學中的化歸思想、數形結合思想。
8．（2019秋·椒江區期末）模型結論：如圖①，正△ABC內接於⊙O，點P是劣弧AB上一點，可推出結論PA+PB＝PC．
應用遷移：如圖②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，F是△DEG內一點，則點F到△DEG三個頂點的距離和的最小值為（ ）
A．√17 B．5 C．3√3 D．√39
【解析】模型結論：∵將△PBC繞C點順時針旋轉60°，
∴∠PCD＝60°，PC＝CD，AD＝PB，∠CAD＝∠CBP，
∵∠PBC+∠PAC＝180°，∠DAC+∠PAC＝180°，
∴P，A，D在一條直線上，
∴△PCD是等邊三角形，∴PC＝PD＝DC，
∴PB+PA＝PA+AD＝PD＝PC；
應用遷移：如圖2：以DG為邊作等邊三角形△MGD，以DF為邊作等邊△DFP．連接EM，作MN⊥ED，交ED的延長線於N．
∵△MGD和△DFP是等邊三角形
∴PF＝DF＝PD，∠FDP＝∠GDM＝60°，DG＝MD，
∴∠FDG＝∠MDP，∴△DFG≌△DPM，
∴FG＝PM，∴EF+DF+FG＝EF+PF+PM，
∴當E、F、P、M四點共線時，EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM＝EM，
∵∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，∴∠EDM＝150°，
∴∠NDM＝30°，
∵MD＝DG＝2√3．∴MN＝1/2DM＝√3，DN＝3，
∴NE＝DE+DN＝3+3＝6，
∴由勾股定理可求得EM＝√39，
∴點F到△DEG三個頂點的距離和的最小值為√39，故選：D．
9．（2020·武侯區模擬）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是邊BC上一動點（點P不與點B，C重合），連接AP，作點B關於直線AP的對稱點M，連接MP，作∠MPC的角平分線交邊CD於點N．則線段MN的最小值為______．
【解析】連接AM、MN、AN，如圖1所示：
∵MN+AM≥AN，∴MN≥AN﹣AM，
當A、M、N三點共線時，MN＝AN﹣AM，最小，
當A、M、N三點共線時，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵點B關於直線AP的對稱點為M，
∴AP垂直平分BM，∴AB＝AM，PB＝PM，
易證△ABP≌△AMP，∴∠B＝∠PMA＝90°，∴∠PMN＝∠C＝90°，
∵PN是∠MPC的角平分線，∴∠NPM＝∠NPC，
易證△NPM≌△NPC，∴MN＝CN，
設MN＝x，則DN＝CD﹣CN＝3﹣x，AN＝AM+MN＝3+x，
在Rt△ADN中，4²+（3﹣x）²＝（3+x）²，
解得：x＝4/3，∴線段MN的最小值為4/3，故答案為：4/3．
10．（2019秋·蒼南縣期末）如圖，在直角坐標系中，點A（0，4），B（﹣3，0），C是線段AB的中點，D為x軸上一個動點，以AD為直角邊作等腰直角△ADE（點A，D，E以順時針方向排列），其中∠DAE＝90°，則點E的橫坐標等於_____-，連結CE，當CE達到最小值時，DE的長為______．
【解析】如圖，把線段AC繞點A逆時針旋轉90°，得到AC′，連接C′D，
則C′為定點（2，5/2），易證△ACE≌△AC′D∴C′D＝CE．
當C′D⊥OD時，C′D最小，CE最小值為5/2，∴OD＝2，
過E作EG⊥OA於G，EH⊥x軸於H，則四邊形EHOG是矩形，∴EG＝OH，
∵∠AGE＝∠AOD＝∠EAD＝90°，
∴∠AEG+∠EAO＝∠EAO+∠OAD＝90°，∴∠AEG＝∠OAD，
∵AE＝AD，∴△AEG≌△DAO，
∴AG＝OD＝2，EG＝OA＝4，∴點E的橫坐標等於﹣4，
∴EH＝OG＝2，DH＝2+4＝6，∴由勾股定理可求得DE＝2√10，
故答案為：﹣4，2√10．
11．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A的坐標為（﹣4，0），點B的坐標為（0，4），點C、D分別為OA、OB的中點，若正方形OCED繞點O順時針旋轉，得正方形OC′E′D′．記旋轉角為a（0°＜a＜360°），連結AC′、BD′，設直線AC′與直線BD′相交於點F，則點F的縱坐標的最大值為______-．
【解答】如圖，
∵∠AOB＝∠D′OC′，∴∠ACO′＝∠BOD′，
易證△AOC′≌△BOD′，∴∠OAF＝∠OBF，
∵∠AGO＝∠BOF∴∠BFA＝∠BOA＝90°，∴點F、B、A、O四點共圓，
∴當點F在劣弧上運動時，點F的縱坐標隨∠FAO的增大而增大，
∵OC′＝2，∴點C′在以點O為圓心，2為半徑的圓O上運動，
∴當AF與⊙O相切時，∠C′AO（即∠FAO）最大，
此時∠AC′O＝90°，點E′與點F重合，點F的縱坐標達到最大．
過點F作FH⊥x軸，垂足為H，如圖所示．
∵∠AC′O＝90°，C′O＝2，AO＝4，
∴∠E′AO＝30°，AC′＝2√3．∴AF＝2√3+2．
∵∠AHF＝90°，∠FAH＝30°，
∴FH＝1/2AF＝1/2×（2√3+2）＝√3+1．
∴點P的縱坐標的最大值為√3+1．
第四類（摺疊、旋轉）變換或動點的多解問題
有些幾何平移、旋轉、對稱、摺疊問題，題目中有些元素位置或大小沒有確定，需要自己畫出圖形確定出可能出現情形，圖形畫法往往不唯一，需要分類討論這類題難度就較大。需要全面細緻分析，否則極易漏解。圖形的變換多解題型在幾何知識里屬於難度較大的一個模塊，很多同學在做這類題時通常直接放棄，失分率很高
12．（2020·鄭州一模）如圖，在矩形ABMN中，AN＝1，點C是MN的中點，分別連接AC，BC，且BC＝2，點D為AC的中點，點E為邊AB上一個動點，連接DE，點A關於直線DE的對稱點為點F，分別連接DF，EF．當EF⊥AC時，AE的長為_______．
【解答】∵四邊形ABMN是矩形，
∴AN＝BM＝1，∠M＝∠N＝90°，
∵CM＝CN，∴△BMC≌△ANC，
∴BC＝AC＝2，∴AC＝2AN，∴∠ACN＝30°，
∵AB∥MN，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
①如圖1中，當DF⊥AB時，∠ADF＝60°，
∵DA＝DF，∴△ADF是等邊三角形，∴∠AFD＝60°，
∵∠DFE＝∠DAE＝30°，∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此時AE＝√3/3．
②如圖2中，當△AEF是等邊三角形時，EF⊥AC，此時EF＝√3．
綜上所述，滿足條件的EF的值為√3/3或´3．
13．（2019秋·川匯區期末）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝2，點E是BC邊的中點，連接AE，△AB′E和△ABE關於AE所在直線對稱，若△B′CD是直角三角形，則BC邊的長為_______．
【解答】連接BB′，
∵BE＝B′E＝EC，∴∠BB′C＝90°，∴∠B′CD＜90°，
（1）如圖1，∠B′DC＝90°，
則四邊形ABEB′和ECDB′是正方形，
∴BC＝2AB＝4，
（2）如圖2，∠CB′D＝90°，則B，B′，D三點共線，
設AE，BB′交於F，∵AB＝AB′，EB＝EB′，∴AE垂直平分BB′，∴BF＝B′F，
∵∠AFB＝∠DB′C＝90°，
∵∠BAF＝∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB′，∴∠BAF＝∠DCB′，
∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDB′，∴BF＝D′D，
∴F，B′是對角線BD的三等分點，
∵△BCB′∽△CDB′，∴BC/CD=CB´/DB´=BB´/CB´，
∴BC²/CD²=BB´/DB´，∴BC＝√2CD＝2√2，
故答案為：4或2√2．
14．（2019秋·宿遷期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6√10．點P是AD的中點，點E在BC上，CE＝2BE，點M、N在線段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝______．
【解答】分兩種情況：
①MN為等腰△PMN的底邊時，作PF⊥MN於F，如圖1所示：
則∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝6√10，∠A＝∠C＝90°，
∴AB＝CD＝2√10，由勾股定理可求得BD＝20，
∵點P是AD的中點，∴PD＝1/2AD＝3√10，
∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，
∴PF/AB=PD/BD，即PF/2√10=3√10/20，解得：PF＝3，
∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴NF/PF=CE/PF=2，
∴MF＝NF＝2PF＝6，
∴MN＝2NF＝12；
②MN為等腰△PMN的腰時，作PF⊥BD於F，如圖2所示：
由①得：PF＝3，MF＝6，
設MN＝PN＝x，則FN＝6﹣x，
在Rt△PNF中，32+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝15/4，即MN＝15/4；
綜上所述，MN的長為12或15/4；
故答案為：12或15/4．
15．（2019秋·大東區期末）已知正方形ABCD的邊長為1，P為射線AD上的動點（不與點A重合），點A關於直線BP的對稱點為E，連接PE，BE，CE，DE．當△CDE是等腰三角形時，AP的值為_______．
【解答】①如圖1，當CE＝CD，且點P在線段AD上時，
由題意知，△BEC為等邊三角形，
過點E作BC的垂線，分別交AD，BC於點M，N，
則EN＝√3/2BE＝√3/2，∴ME＝1﹣√3/2，
在四邊形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，
∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，
∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣√3，∴AP＝PE＝2﹣√3；
②如圖2，當CE＝CD，且點P在線段AD的延長線上時，
由題意知，△BCE為等邊三角形，
過點E作BC的垂線，交BC於N，交AD於M，則NE＝√3/2CE＝√3/2，∴ME＝1+√3/2，
在四邊形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，
∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+√3，∴AP＝PE＝2+√3；
③如圖3，當ED＝EC時，點E在CD的垂直平分線上，也在AB的垂直平分線上，∴AE＝BE，
又∵AB＝EB，∴△ABE為等邊三角形，
∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，
在Rt△ABP中，AP＝√3/3AB＝√3/3，
綜上所述，AP的值為2﹣√3或2+√3或√3/3．
反思總結
數學永遠都有很坑的題，因為數學內容廣，而且靈活性高。所以數學最容易出現超難題。而數學中的難度大的題主要集中在幾何中。具體有以下幾種情況。
一、幾何圖形變換多，尤其空間圖形，如果想像能力如果跟不上，則一個很簡單的圖都會出現很難的題。
二、沒去想常用的幾何模型而去添加的輔助線，尤其是輔助線位於圖形外面的。很多學生甚至老師都想不到。
三、幾何題靈活度高，常規的題變換某些關鍵元素字眼，或操作圖形變換方式，變換圖形位置，就會導致圖形的多樣性，致使答案有多種可能，從而提升難度。導致很多人不會做。
綜上所述，數學幾何所謂坑人題是有招數應對的，只要認真深入認識研究，不難攻破的。
聲明：本文經作者許可，選自今日頭條號《中學數學深度研究》。
第一類"坑" 有題目，無圖形
題目中沒有圖，需要自己畫出圖，圖形畫法不唯一，這類問題往往需要分類討論，這類題極易漏解而使解答錯誤。
1．（2019秋·南崗區期末）已知：在同一個平面內，AB⊥CD，垂足為O，OE平分∠AOC，∠BOF＝30°，則∠EOF的度數為_______度．
【解析】分兩種情況：①射線OF在∠BOC內部；②射線OF在∠BOD內部．
∵AB⊥CD，垂足為O，∴∠AOC＝∠COB＝90°，
∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE＝1/2∠AOC＝45°．
分兩種情況：
①如圖1，射線OF在∠BOC內部時，
∵∠AOE＝45°，∠BOF＝30°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF＝105°；
②如圖2，射線OF在∠BOD內部時，
∵∠COE＝45°，∠COB＝90°，∠BOF＝30°，
∴∠EOF＝∠COE+∠COB+∠BOF＝165°．
故答案為105或165．
2．（2019秋·衛輝市期末）已知∠A和∠B的兩邊分別平行，若∠A＝71°22"，則∠B＝ ______．
【解析】∵∠A的兩邊與∠B的兩邊分別平行，∠A＝71°22′，
∴∠A+∠B＝180°或∠A＝∠B，
∴∠B＝108°38′或71°22′．
故答案為：108°38′或71°22′．
3．（2019秋·大窪區期末）已知△ABC中，AH⊥BC，垂足為H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝80°，則∠BAC＝______-．
【解析】當∠ABC為銳角時，過點A作AD＝AB，交BC於點D，如圖1所示．
∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABH＝80°，BH＝DH．
∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，
∴CD＝AB＝AD，∴∠C＝1/2∠ADB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝60°．
當∠ABC為鈍角時，如圖2所示．
∵AB+BH＝CH，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝1/2∠ABH＝40°．
故答案為：60°或40°．
4．（2019秋·蜀山區期末）在△ABC中，D、E是邊BC上的兩點，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，則∠BAC的度數是_______．
【解析】如圖1，∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C﹣∠DAE＝180°，則2（∠B+∠C）＝220°，
解得，∠B+∠C＝110°，∴∠BAC＝70°，
∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE＝180°，
則2（∠B+∠C）＝140°，解得，∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝110°，
故答案為：70°或110°．
第二類"坑" 忽略關鍵字詞
也有這麼一類題目，我們會忽略題目中的關鍵字眼，做題時審題時一定要仔細，尤其要注意一些重要的關鍵字眼，不要以為是"容易題""陳題"就一眼帶錯，要注意"陳題"中可能有"新意"。也不要一眼看上去認為是"新題、難題"就畏難而放棄，要知道"難題"也只難在一點，"新題"只新在一處。由於疏忽看錯題或畏難輕易放棄都會造成很大的遺憾。
5．（2019秋·克東縣期末）已知線段AB＝10cm，點C在直線AB上，且BC＝2cm，若點M是線段AB的中點，點N是線段BC的中點，則線段MN的長為______．
【解析】∵M是AB的中點，N是BC的中點，
∴BM＝1/2AB＝1/2×10＝5cm，BN＝1/2BC＝1/2×2＝1cm，
如圖1，線段BC不在線段AB上時，MN＝BM+BN＝5+1＝6cm，
如圖2，線段BC在線段AB上時，MN＝BM﹣BN＝5﹣1＝4cm，
綜上所述，線段MN的長度是6cm或4cm．
故答案為：6cm或4cm．
6．（2019秋·成都期末）在△ABC中，∠ACB＝50°，CE為△ABC的角平分線，AC邊上的高BD與CE所在的直線交於點F，若∠ABD：∠ACF＝3：5，則∠BEC的度數為_______．
【解析】①如圖1中，當高BD在三角形內部時，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝50°，∴∠ACE＝∠ECB＝25°，
∵∠ABD：∠ACF＝3：5，∴∠ABD＝15°，
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠CBD＝40°，
∴∠CBE＝∠CBD+∠ABD＝40°+15°＝55°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠CBE＝180°﹣25°﹣55°＝100°
②如圖2中，當高BD在△ABC外時，
同法可得：∠ABD＝25°，∠ABD＝15°，∠CBD＝40°，
∴∠CBE＝∠CBD﹣∠ABD＝40°﹣15°＝25°，
∴∠BEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
綜上所述，∠BEC＝100°或130°，故答案為100°或130°．
7．（2019秋·肥城市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是邊AB上的一點，AD＝1，E是邊AC上的一點（E與端點不重合），如果以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，那麼AE的長是_______．
【解析】分兩種情況，由相似三角形的性質可求解．
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴由勾股定理可求得AB＝5，
∵A，D，E三點組成的三角形與△ABC相似，
∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴AB/AD=AC/AE，或AB/AE=AC/AD，
∴5/1=4/AE或5/AE=4/1，解得：AE＝4/5或AE＝5/4，
故答案為：4/5或5/4.
變式1.（2019秋·淅川縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，點D、E分別是邊AB，BC上的點，連結DE，將△BDE沿DE翻折得到△FDE，點B的對稱點F恰好落在邊AC上，若以點C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似，則BE的長為______.
【解析】∵將△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，
∵BC＝4，∴CE＝4﹣BE，
∵以點C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似，
∴CE/BC=EF/AB或CE/AC=EF/AB，即/4或/3=BE/3，
解得：BE＝12/7或2，
故答案為：12/7或2．
變式2（2019秋·港閘區校級月考）如圖，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在邊AB上取點P，使得△PAD與△PBC相似，則滿足條件的AP長為________-．
【解答】∵∠A＝∠B＝90°
①若△APD∽△BPC,則AP/BP=AD/BC,
∴AP/=2/3,解得AP＝2.8．
②若△APD∽△BCP,則AP/BC=AD/BP,
∴AP/3=2/,解得AP＝1或6．
∴則滿足條件的AP長為2.8或1或6．故答案為：2.8或1或6．
第三類"坑"最值問題轉化
平面幾何圖形中的最值問題是近幾年中考常見的題型，此類問題常讓學生無從下手，讓學生真正頭疼的題目，往往出現在填空選擇等的壓軸題中，得分率很低，是實實在在的"坑"題。幾何最值問題常涉及到原理:兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊，其中包含了數學中的化歸思想、數形結合思想。
8．（2019秋·椒江區期末）模型結論：如圖①，正△ABC內接於⊙O，點P是劣弧AB上一點，可推出結論PA+PB＝PC．
應用遷移：如圖②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，F是△DEG內一點，則點F到△DEG三個頂點的距離和的最小值為（ ）
A．√17 B．5 C．3√3 D．√39
【解析】模型結論：∵將△PBC繞C點順時針旋轉60°，
∴∠PCD＝60°，PC＝CD，AD＝PB，∠CAD＝∠CBP，
∵∠PBC+∠PAC＝180°，∠DAC+∠PAC＝180°，
∴P，A，D在一條直線上，
∴△PCD是等邊三角形，∴PC＝PD＝DC，
∴PB+PA＝PA+AD＝PD＝PC；
應用遷移：如圖2：以DG為邊作等邊三角形△MGD，以DF為邊作等邊△DFP．連接EM，作MN⊥ED，交ED的延長線於N．
∵△MGD和△DFP是等邊三角形
∴PF＝DF＝PD，∠FDP＝∠GDM＝60°，DG＝MD，
∴∠FDG＝∠MDP，∴△DFG≌△DPM，
∴FG＝PM，∴EF+DF+FG＝EF+PF+PM，
∴當E、F、P、M四點共線時，EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM＝EM，
∵∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，∴∠EDM＝150°，
∴∠NDM＝30°，
∵MD＝DG＝2√3．∴MN＝1/2DM＝√3，DN＝3，
∴NE＝DE+DN＝3+3＝6，
∴由勾股定理可求得EM＝√39，
∴點F到△DEG三個頂點的距離和的最小值為√39，故選：D．
9．（2020·武侯區模擬）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是邊BC上一動點（點P不與點B，C重合），連接AP，作點B關於直線AP的對稱點M，連接MP，作∠MPC的角平分線交邊CD於點N．則線段MN的最小值為______．
【解析】連接AM、MN、AN，如圖1所示：
∵MN+AM≥AN，∴MN≥AN﹣AM，
當A、M、N三點共線時，MN＝AN﹣AM，最小，
當A、M、N三點共線時，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵點B關於直線AP的對稱點為M，
∴AP垂直平分BM，∴AB＝AM，PB＝PM，
易證△ABP≌△AMP，∴∠B＝∠PMA＝90°，∴∠PMN＝∠C＝90°，
∵PN是∠MPC的角平分線，∴∠NPM＝∠NPC，
易證△NPM≌△NPC，∴MN＝CN，
設MN＝x，則DN＝CD﹣CN＝3﹣x，AN＝AM+MN＝3+x，
在Rt△ADN中，4²+（3﹣x）²＝（3+x）²，
解得：x＝4/3，∴線段MN的最小值為4/3，故答案為：4/3．
10．（2019秋·蒼南縣期末）如圖，在直角坐標系中，點A（0，4），B（﹣3，0），C是線段AB的中點，D為x軸上一個動點，以AD為直角邊作等腰直角△ADE（點A，D，E以順時針方向排列），其中∠DAE＝90°，則點E的橫坐標等於_____-，連結CE，當CE達到最小值時，DE的長為______．
【解析】如圖，把線段AC繞點A逆時針旋轉90°，得到AC′，連接C′D，
則C′為定點（2，5/2），易證△ACE≌△AC′D∴C′D＝CE．
當C′D⊥OD時，C′D最小，CE最小值為5/2，∴OD＝2，
過E作EG⊥OA於G，EH⊥x軸於H，則四邊形EHOG是矩形，∴EG＝OH，
∵∠AGE＝∠AOD＝∠EAD＝90°，
∴∠AEG+∠EAO＝∠EAO+∠OAD＝90°，∴∠AEG＝∠OAD，
∵AE＝AD，∴△AEG≌△DAO，
∴AG＝OD＝2，EG＝OA＝4，∴點E的橫坐標等於﹣4，
∴EH＝OG＝2，DH＝2+4＝6，∴由勾股定理可求得DE＝2√10，
故答案為：﹣4，2√10．
11．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A的坐標為（﹣4，0），點B的坐標為（0，4），點C、D分別為OA、OB的中點，若正方形OCED繞點O順時針旋轉，得正方形OC′E′D′．記旋轉角為a（0°＜a＜360°），連結AC′、BD′，設直線AC′與直線BD′相交於點F，則點F的縱坐標的最大值為______-．
【解答】如圖，
∵∠AOB＝∠D′OC′，∴∠ACO′＝∠BOD′，
易證△AOC′≌△BOD′，∴∠OAF＝∠OBF，
∵∠AGO＝∠BOF∴∠BFA＝∠BOA＝90°，∴點F、B、A、O四點共圓，
∴當點F在劣弧上運動時，點F的縱坐標隨∠FAO的增大而增大，
∵OC′＝2，∴點C′在以點O為圓心，2為半徑的圓O上運動，
∴當AF與⊙O相切時，∠C′AO（即∠FAO）最大，
此時∠AC′O＝90°，點E′與點F重合，點F的縱坐標達到最大．
過點F作FH⊥x軸，垂足為H，如圖所示．
∵∠AC′O＝90°，C′O＝2，AO＝4，
∴∠E′AO＝30°，AC′＝2√3．∴AF＝2√3+2．
∵∠AHF＝90°，∠FAH＝30°，
∴FH＝1/2AF＝1/2×（2√3+2）＝√3+1．
∴點P的縱坐標的最大值為√3+1．
第四類（摺疊、旋轉）變換或動點的多解問題
有些幾何平移、旋轉、對稱、摺疊問題，題目中有些元素位置或大小沒有確定，需要自己畫出圖形確定出可能出現情形，圖形畫法往往不唯一，需要分類討論這類題難度就較大。需要全面細緻分析，否則極易漏解。圖形的變換多解題型在幾何知識里屬於難度較大的一個模塊，很多同學在做這類題時通常直接放棄，失分率很高
12．（2020·鄭州一模）如圖，在矩形ABMN中，AN＝1，點C是MN的中點，分別連接AC，BC，且BC＝2，點D為AC的中點，點E為邊AB上一個動點，連接DE，點A關於直線DE的對稱點為點F，分別連接DF，EF．當EF⊥AC時，AE的長為_______．
【解答】∵四邊形ABMN是矩形，
∴AN＝BM＝1，∠M＝∠N＝90°，
∵CM＝CN，∴△BMC≌△ANC，
∴BC＝AC＝2，∴AC＝2AN，∴∠ACN＝30°，
∵AB∥MN，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
①如圖1中，當DF⊥AB時，∠ADF＝60°，
∵DA＝DF，∴△ADF是等邊三角形，∴∠AFD＝60°，
∵∠DFE＝∠DAE＝30°，∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此時AE＝√3/3．
②如圖2中，當△AEF是等邊三角形時，EF⊥AC，此時EF＝√3．
綜上所述，滿足條件的EF的值為√3/3或´3．
13．（2019秋·川匯區期末）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝2，點E是BC邊的中點，連接AE，△AB′E和△ABE關於AE所在直線對稱，若△B′CD是直角三角形，則BC邊的長為_______．
【解答】連接BB′，
∵BE＝B′E＝EC，∴∠BB′C＝90°，∴∠B′CD＜90°，
（1）如圖1，∠B′DC＝90°，
則四邊形ABEB′和ECDB′是正方形，
∴BC＝2AB＝4，
（2）如圖2，∠CB′D＝90°，則B，B′，D三點共線，
設AE，BB′交於F，∵AB＝AB′，EB＝EB′，∴AE垂直平分BB′，∴BF＝B′F，
∵∠AFB＝∠DB′C＝90°，
∵∠BAF＝∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB′，∴∠BAF＝∠DCB′，
∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDB′，∴BF＝D′D，
∴F，B′是對角線BD的三等分點，
∵△BCB′∽△CDB′，∴BC/CD=CB´/DB´=BB´/CB´，
∴BC²/CD²=BB´/DB´，∴BC＝√2CD＝2√2，
故答案為：4或2√2．
14．（2019秋·宿遷期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6√10．點P是AD的中點，點E在BC上，CE＝2BE，點M、N在線段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝______．
【解答】分兩種情況：
①MN為等腰△PMN的底邊時，作PF⊥MN於F，如圖1所示：
則∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝6√10，∠A＝∠C＝90°，
∴AB＝CD＝2√10，由勾股定理可求得BD＝20，
∵點P是AD的中點，∴PD＝1/2AD＝3√10，
∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，
∴PF/AB=PD/BD，即PF/2√10=3√10/20，解得：PF＝3，
∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴NF/PF=CE/PF=2，
∴MF＝NF＝2PF＝6，
∴MN＝2NF＝12；
②MN為等腰△PMN的腰時，作PF⊥BD於F，如圖2所示：
由①得：PF＝3，MF＝6，
設MN＝PN＝x，則FN＝6﹣x，
在Rt△PNF中，32+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝15/4，即MN＝15/4；
綜上所述，MN的長為12或15/4；
故答案為：12或15/4．
15．（2019秋·大東區期末）已知正方形ABCD的邊長為1，P為射線AD上的動點（不與點A重合），點A關於直線BP的對稱點為E，連接PE，BE，CE，DE．當△CDE是等腰三角形時，AP的值為_______．
【解答】①如圖1，當CE＝CD，且點P在線段AD上時，
由題意知，△BEC為等邊三角形，
過點E作BC的垂線，分別交AD，BC於點M，N，
則EN＝√3/2BE＝√3/2，∴ME＝1﹣√3/2，
在四邊形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，
∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，
∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣√3，∴AP＝PE＝2﹣√3；
②如圖2，當CE＝CD，且點P在線段AD的延長線上時，
由題意知，△BCE為等邊三角形，
過點E作BC的垂線，交BC於N，交AD於M，則NE＝√3/2CE＝√3/2，∴ME＝1+√3/2，
在四邊形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，
∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+√3，∴AP＝PE＝2+√3；
③如圖3，當ED＝EC時，點E在CD的垂直平分線上，也在AB的垂直平分線上，∴AE＝BE，
又∵AB＝EB，∴△ABE為等邊三角形，
∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，
在Rt△ABP中，AP＝√3/3AB＝√3/3，
綜上所述，AP的值為2﹣√3或2+√3或√3/3．
反思總結
數學永遠都有很坑的題，因為數學內容廣，而且靈活性高。所以數學最容易出現超難題。而數學中的難度大的題主要集中在幾何中。具體有以下幾種情況。
一、幾何圖形變換多，尤其空間圖形，如果想像能力如果跟不上，則一個很簡單的圖都會出現很難的題。
二、沒去想常用的幾何模型而去添加的輔助線，尤其是輔助線位於圖形外面的。很多學生甚至老師都想不到。
三、幾何題靈活度高，常規的題變換某些關鍵元素字眼，或操作圖形變換方式，變換圖形位置，就會導致圖形的多樣性，致使答案有多種可能，從而提升難度。導致很多人不會做。
綜上所述，數學幾何所謂坑人題是有招數應對的，只要認真深入認識研究，不難攻破的。
聲明：本文經作者許可，選自今日頭條號《中學數學深度研究》。
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